Матрицы Паули

[Sicker]

Red_Herring
Поворот вокруг оси $x,y,z$

[Red_Herring]

Какой из трех? И чем она по отношению к матрице замечательна?

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #966600 писал(а):

Какой из трех?

вокруг оси $z$ по часовой стрелки(со знаком минус)

Red_Herring в сообщении #966600 писал(а):

И чем она по отношению к матрице замечательна?

в смысле?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #966603 писал(а):

в смысле?

Поскольку общая трехмерная кососимметричная (вещественная) матрица приводится к той которую я указал, то и она генерирует вращение вокруг какой то прямой. Что это за прямая?

И, кстати, действие матрицы $\begin{pmatrix} 0 &-c& b\\c&0&-a\\-b&a &0\end{pmatrix}$ на вектор $\mathbf{x}$ соответствует геометрической операции. Какой?

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #966607 писал(а):

Что это за прямая?

прямая, вокруг которой производится поворот

Red_Herring в сообщении #966607 писал(а):

И, кстати, действие матрицы $\begin{pmatrix} 0 & -c & b\\ c &0 -a\\ -b &a &0\end{pmatrix}$ на вектор $\mathbf{x}$ соответствует геометрической операции. Какой?

векторное произведение

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #966608 писал(а):

прямая, вокруг которой производится поворот

Вокруг какой оси осуществляет поворот группа $\exp (At)$ с $\begin{pmatrix} 0 &-c&b\\c&0&-a\\-b&a &0\end{pmatrix}$ ?
А то "она крутится вокруг оси вращения".

[Sicker]

вокруг оси $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}})$
на угол $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ против часовой

[Red_Herring]

Делить на длину вовсе не обязательно. И этот вектор $(a,b,c)$ находится в ядре $A$.

[Sicker]

Ну да, и что вы хотите этим сказать?

-- 23.01.2015, 05:24 --

Red_Herring
Вы можете написать выражение для матричной экспоненты, те раскрыть ее?

-- 23.01.2015, 05:59 --

А вот матрицы волновой функции со спином единица будут три на три? И какой их явный вид?( в Ландавшице там рассматривают системы с произвольным спином и все в общем виде)

[Munin]

Sicker в сообщении #967050 писал(а):

А вот матрицы волновой функции со спином единица будут три на три?

Какие матрицы? Вектор состояния будет, три на один.

ФЛФ-8. Прочитайте внимательно главы про спин $1/2$ и про спин 1, а тогда заново беритесь за Ландафшица. (И не пишите его через "в", это неграмотно.)

И как вы имеете нахальство это всё не знать, уже сдав экзамен?..

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #967124 писал(а):

И не пишите его через "в", это неграмотно.

И к тому же звучит как "дави вшиц".

[Sicker]

Munin в сообщении #967125 писал(а):

Какие матрицы? Вектор состояния будет, три на один.

нет, это то понятно, я имею ввиду матрицы, действующие на этот вектор состояния

Munin в сообщении #967124 писал(а):

ФЛФ-8. Прочитайте внимательно главы про спин $1/2$ и про спин 1, а тогда заново беритесь за Ландафшица. (И не пишите его через "в", это неграмотно.)

У Фейнмана какое-то свое изложение квантмеха, фейнмановское)

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #967132 писал(а):

Red_Herring в сообщении #967125

писал(а):
Какие матрицы? Вектор состояния будет, три на один.

моя этого не писал(а)

[Sicker]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #967135 писал(а):

Я этого не писал(а)

а как это сделалось?

-- 23.01.2015, 13:23 --

(Оффтоп)

ааа, понял я просто вашу кнопку вставка нажал)

[Munin]

P. S. Потом, когда вы займётесь группами Ли и их представлениями, вы узнаете, что спин 1 получается из спина $1/2$ следующим образом:
- берут две частицы со спином $1/2$; поскольку это двухчастичная система, то надо взять их тензорное произведение, то есть от двух векторов $2\times 1$ перейти к матрице $2\times 2,$ при вращениях матрицы Паули действуют на неё с двух сторон;
- эти матрицы (четыре компоненты) можно представить как сумму двух матриц: одна вообще никак не меняется при вращениях, как скаляр, и может быть описана одной компонентой, а другая имеет три независимых компоненты - в физике эти два состояния жаргонно называются синглетным и триплетным (скажем, говорят о синглетном или триплетном состоянии двух электронов в двухэлектронной системе);
- три компоненты триплетной составляющей можно записать в виде вектора-столбца, и найти матрицы, которые действуют на него при вращениях - поскольку всё, что с ним происходит, неизбежно есть линейный оператор; эти матрицы будут матрицами вращения и операторами спина, только для состояния со спином $1.$

Этот сюжет очень важно хорошо пройти и понять. Аналогично можно построить векторы и соответствующие операторы для спина любой величины: просто прибавляете каждый раз по $1/2,$ и отбрасываете лишнее.

И то же самое рассказывают в математике, называя всё это другими словами. Там говорят, что берут два представления группы вращений (речь о спинорных, двузначных представлениях, но это не так важно) размерности 2 (это и соответствует спину $1/2$ на физическом языке, а ещё это называют дублетом), и строят из них тензорное произведение: символически $2\otimes 2.$ И это представление оказывается приводимым, и его раскладывают в сумму неприводимых: $2\otimes 2=3\oplus 1.$ Получаются представления размерности 3 (триплет) и 1 (синглет). Всё это может быть обобщено на представления других групп: например, если взять представления не группы $\mathrm{SU}(2),$ а группы $\mathrm{SU}(3),$ то получится схема для сложения кварков в мезоны и барионы.

-- 23.01.2015 13:30:00 --

Sicker в сообщении #967132 писал(а):

У Фейнмана какое-то свое изложение квантмеха, фейнмановское)

Конкретно главы про спин - очень в тему.

А в остальном - да. В Ландафшице квантмех излагается со стороны "волновой механики", и во многих отечественных учебниках тоже продавливается этот подход. А у Фейнмана во главу угла поставлена "матричная механика", и даже некоторые отсылки к "суммированию по путям". За рубежом немало учебников, которые следуют этой струе, и в том числе современные, посвящённые квантовой информации - там этот подход удобнее.

Полезно знать и то, и другое.

Цитата из ЛС:

Munin писал(а):

Фейнмановские лекции по физике, тт. 8-9 "Квантовая механика" - вообще очень полезно почитать. В отличие от ЛЛ-3, в котором КМ рассказывается в основном с волновой точки зрения, а алгебраическим аспектам отводится мало места, здесь всё излагается с матричной точки зрения (вы знаете, что КМ возникла из слияния "волновой механики" и "матричной механики", которые оказались эквивалентными), и только немного рассказывается про волновую. Это введение в понятия амплитуды процесса, правил сложения и умножения амплитуд, правил использования матриц.

Фейнман, Хибс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. - эта книга помогает перейти от "матричного" и "волнового" взглядов к третьему - фейнмановскому. Он же интеграл по траекториям, суммирование по путям, path integral, path sum, sum-over-paths, ФИТ, FPI. Книга уровня учебника.