Знак интеграла.

[Torshin]

Здравствуйте! Скажите пожалуйста, что можно делать со знаком интеграла? В частности, можно ли их складывать, если подинтегральная функция одинаковая? Наткнулся на запись в методичке, и мне кажется, что она некорректна.
$\lim\limits_{\varepsilon \to 0}^{}($$\int\limits_{-R}^{-\varepsilon}$$ + $$\int\limits_{\varepsilon}^{R}$$) f(x)dx $

[provincialka]

Посмотрите свойство аддитивности интеграла. Запись, конечно, не совсем стандартная, но понятная

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Red_Herring]

Torshin в сообщении #966862 писал(а):

Наткнулся на запись в методичке, и мне кажется, что она некорректна.

Смысл вполне ясный: берутся два интеграла, от $-R$ и до $-\varepsilon$ и от $\varepsilon$ до $R$, их значения складываются и находится предел. Получается то, что называется интеграл в смысле главного значения и записывается

$$\textrm{p.v. }\int_{-R}^R f(x)\,dx$$

.

[ex-math]

(Оффтоп)

Red_Herring
У нас чаще $\mathrm{v.p.}$ используется, или я отстал от жизни?

[Red_Herring]

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #966957 писал(а):

У нас чаще $\mathrm{v.p.}$ используется, или я отстал от жизни?

Пожалуй я использовал привычное для меня, но менее стандартное обозначение. Сейчас в англоязычной литературе чаще используется p.v., а во французской и русской—оригинальное от Коши v.p.

[ewert]

(Оффтоп)

Тут проблема больше не в англофранцузскости, а скорее в другом:

Red_Herring в сообщении #966871 писал(а):

$$\textrm{p.v.}-\int_{-R}^R f(x)\,dx$$

Совершенно не понимаю: как можно вычитать интеграл из главного значения?... т.е. каким способом это в принципе можно сделать?...

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Это был не "минус" а неудачный дефис

[Torshin]

Спасибо.
Мне и так ясно и аддитивность, и то что это интеграл в смысле главного значения. Просто я всегда считал, что каждому значку интеграла должен соответствовать его элемент длины. Как скобки: на каждую открытую одна закрытая. При чём не как попало. Видимо интеграл и его элемент длины не как скобки.

[Red_Herring]

Torshin
Я бы сказал так: как Вы процитировали понятно что значит, но так писать в печатных материалах не принято,Для себя—да, на доске, в классе—тоже (доска не резиновая, лекция тоже), но не в книге, Не криминал, но некоторое неприличие.

[bot]

provincialka в сообщении #966864 писал(а):

Запись, конечно, не совсем стандартная

А чего же тут нестандартного? Интегралы $\int\limits_a^b$ и $\int\limits_c^d$ - линейные операторы, их можно складывать.
Аналогичный взгляд на запись дифференциала $n$-го порядка очень удобен - "как бы" раскрытие по биному становится вовсе даже и не как бы.

[Munin]

Torshin в сообщении #966862 писал(а):

Скажите пожалуйста, что можно делать со знаком интеграла?

Чем более старший курс, тем больше вещей, которые с ним можно делать.

В "элементарном" анализе интеграл рассматривается как неделимый символ: $\int\limits_{\mathrm{limits}}(\phantom{\ldots})\,d\,\mathrm{var}.$

В более продвинутых разделах анализа вводятся разные обобщения этого понятия и этой нотации.

Например, вводится понятие меры, и в качестве "дифференциальной части" записывается какая-то мера: $\int(\phantom{\ldots})\,d\mu.$

Или, вводится аппарат дифференциальных форм, для которых $d\omega$ - это оператор, действующий на $\omega,$ и превращающий форму в форму. Тогда становится возможным записать нечто вроде $\int\limits_{M}\omega,$ и выполнять справа от символа интеграла любые алгебраические операции. Символ интеграла становится одним из многих операторных символов, приписываемых слева.