Целое число между двумя рациональными

[rightways]

$a,b-$ натуральные числа и $p,q-$ рациональные числа такие, что $p=\frac{a^2+2b^2}{2ab}$ и $q=\frac{a^2+2b^2}{2ab-1}$.
Известно, что между числами $p$ и $q$ есть целое число. Найдите это число.

[nnosipov]

Лучше написать "$p$, $q$ --- нецелые числа такие, что ...". Симпатичная задача. В моей коллекции есть что-то подобное, но именно этой нет. Спасибо.

[rightways]

а ваша подобная задача как выглядит?

[ИСН]

Чего-то я не понял. Какое это целое число есть между $\frac{1^2+2\cdot3^2}{2\cdot1\cdot3}={19\over6}$ и $\frac{1^2+2\cdot3^2}{2\cdot1\cdot3-1}={19\over5}$, например?

[Andrey A]

Целое $2$ если $a=b=1$, но $q$ - целое. Чем не рациональное?

[venco]

ИСН в сообщении #966922 писал(а):

Чего-то я не понял. Какое это целое число есть между $\frac{1^2+2\cdot3^2}{2\cdot1\cdot3}={19\over6}$ и $\frac{1^2+2\cdot3^2}{2\cdot1\cdot3-1}={19\over5}$, например?

Почему вы решили, что $a=1$, $b=2$? В условии этого нет.

[gris]

Слово "известно" относится к условию. Но это недостаточно чётко написано.
Надо найти все пары натуральных чисел, для которых обы выражения не целы и разделены целым числом. Может быть такая пара только одна на свете.

[Shadow]

Она очень похожа на задачу nnosipov, которую rightways разбудил недавно. Попробую спуском. Если искомое натуральное число $c$ то задача сводится к двойному неравенству $0>a^2-2cba+2b^2>-c$
Пусть $а^2-2cab+2b^2=-d$, причем $d<c$ (все коеффициенты натуральные числа) Рассматриваем как квадратное относительно $a$. Если $(a_1,b)$ -решение, то и $(a_2,b)$. По Виету:

$\\a_1+a_2=2cb\\ a_1a_2=2b^2+d$

Очевидно, что $a_2$ тоже натуральное и при $c\ge 3,\;a_1>b>a_2>0$ Тоесть $(a_2,b)$ меньшее решение.

Из неравенства $(b-a_1)(b-a_2)<0\; \Rightarrow\;b^2-b(a_1+a_2)+a_1a_2<0\;\Rightarrow b^\ge \frac{d}{2c-3}$ С учетом $d<c$ и $c\ge 3$

Аналогично доказывается и относительно $b$. При $c=1$ решений нет, так что единственный вариант $c=2,d=1$ и $(a,b)$ решения уравнения $a^2-4ab+2b^2+1=0$

Как уравнение Пелля или рекурентно по Виету:
$\\(1,1)\\ (3,1)\\ (3,5)\\ \cdots $

[provincialka]

gris в сообщении #966939 писал(а):

Надо найти все пары натуральных чисел, для которых

Собственно, не надо. Надо только найти "промежуточное число". Видимо, оно всегда равно 2. (Пока не доказывала).

[nnosipov]

rightways в сообщении #966908 писал(а):

а ваша подобная задача как выглядит?

Пусть $a$, $b$ --- различные натуральные числа. Докажите равенство

$$ \left[\frac{(a-b)^2}{ab}\right]=\left[\frac{(a-b)^2-1}{ab-1}\right]. $$

Shadow в сообщении #966959 писал(а):

Если искомое натуральное число $c$ то задача сводится к двойному неравенству $0>a^2-2cba+2b^2>-c$

Типичная картина. Дискриминант квадратичной формы $4(c^2-2)$ хороший, поэтому задача и решается.