уравнение с квадратом и косинусом

[rit]

Вызывает затруднение =(
Было на к.р. в нашем лицее, хочется разобраться

$x^2+4x\cos (xy)+4=0$

[Brukvalub]

Посчитайте дискриминант этого уравнения, рассматривая его, как квадратное относительно х.

[Gordmit]

Все-таки нехорошо, наверное, рассматривать это уравнение как квадратное относительно $x$. Думаю, проще рассуждать, приведя его к виду

$$(x^2-4x+4)+(4x\cos xy + 4x)=0$$

, откуда уже почти все ясно.

P.S. Единственная тонкость здесь, вероятно, состоит в том, что надо отдельно рассмотреть случаи $x\geqslant 0$ и $x<0$. Представление выше информативно для первого случая, а при $x<0$ в него надо внести очевидные изменения.

[Brukvalub]

Gordmit писал(а):

Все-таки нехорошо, наверное, рассматривать это уравнение как квадратное относительно $x$

Кому от этого становится нехорошо? Такое рассмотрение эквивалентно представлению

\[ (x + 2\cos (xy))^2 + 4(1 - \cos ^2 (xy)) \]

, и неотрицательность обоих слагаемых очевидна без перебора случаев.

[Gordmit]

Brukvalub писал(а):

Кому от этого становится нехорошо? Такое рассмотрение эквивалентно представлению

\[ (x + 2\cos (xy))^2 + 4(1 - \cos ^2 (xy)) \]

, и неотрицательность обоих слагаемых очевидна без перебора случаев.

Ну странно как-то рассматривать уравнение как квадратное, если $x$ входит в аргумент косинуса. Не совсем понятно, почему можно рассматривать как квадратное уравнение, которое таковым не является Никому же не приходит в голову рассмотреть уравнение, скажем, $x^2+x^5+1=0$ как квадратное, в котором $b=x^4$. Или я чего-то не понимаю

[neo66]

Ну чего Вы так разволновались? Вместо того, чтобы поблагодарить за новый для себя подход.

[Профессор Снэйп]

Gordmit писал(а):

Никому же не приходит в голову рассмотреть уравнение, скажем, $x^2+x^5+1=0$ как квадратное, в котором $b=x^4$. Или я чего-то не понимаю

Просто в данном случае это рассмотрение ничего не даёт Хуже того, от уравнения пятой степени приводит к уравнению восьмой степени.

А так приём вроде бы вполне законный.

[Gordmit]

Я просто пытаюсь посмотреть на это с методической точки зрения, и мне кажется, что такой подход может сильно запутать Может я неправ.

[Brukvalub]

Хорошо, давайте рассуждать так. Пусть пара чисел

\[x_0 \;;\;y_0 \]

является решением уравнения, то есть

\[ (x_0 )^2 + 4x_0 \cos (x_0 y_0 ) + 4 = 0\]

. Теперь рассмотрим уже истинно квадратное уравнение

\[(x )^2 + 4x \cos (x_0 y_0 ) + 4 = 0\]

, которое обязательно имеет корень, поэтому должно выполняться неравенство

\[D = 4\cos ^2 (x_0 y_0 ) - 4 \ge 0\]

. Иными словами, для решений исходного уравнения должно выполняться неравенство

\[D = 4\cos ^2 (x y ) - 4 \ge 0\]

, и это условие можно выразить словами

Brukvalub писал(а):

Посчитайте дискриминант этого уравнения, рассматривая его, как квадратное относительно х.

и наложите необходимое условие неотрицательности его дискриминанта.

[AD]

Gordmit писал(а):

Ну странно как-то рассматривать уравнение как квадратное, если $x$ входит в аргумент косинуса.

Конструктивное предложение - сделать замену $z=xy$, тогда уравнение перепишется в совершенно квадратном виде: $x^2+4x\cos z+4$

[Gordmit]

AD писал(а):

Конструктивное предложение - сделать замену $z=xy$, тогда уравнение перепишется в совершенно квадратном виде: $x^2+4x\cos z+4$

Нет, это не конструктивное предложение. Относительно которой переменной уравнение получится? Относительно $x$ оно не квадратное (точнее, не стало более квадратным, чем раньше ), т.к. $z$ зависит от $x$.

Впрочем, способ Brukvalub-а из предыдущего сообщения сделать уравнение квадратным, насколько я теперь вижу, вполне удовлетворительный. (Не думаю, что наиболее простой, очевидный и понятный, но это уже субъективная оценка - как решать уравнение, каждый решает сам, извините за каламбур. )

[AD]

Gordmit писал(а):

т.к. $z$ зависит от $x$.

А "зависит" - это как вообще? То есть я только что обнаружил, что не понимаю точного смысла этой фразы. Так, на уровне школьной интуиции что-то. И еще потом на занятиях по дифурам нас учили делать замены типа $y'=p(y)$ итп. Ведь число $z$ настолько же произвольно, насколько и $y$ ... по крайней мере при $x\neq0$ ... а кто сказал, что $y$ "не зависит" от $x$ ... короче, интересный вопрос, мне тоже хочется разобраться :)

Добавлено спустя 3 минуты 17 секунд:

Gordmit писал(а):

мне кажется, что такой подход может сильно запутать Может я неправ.

Вы правы, я - пример.

[Профессор Снэйп]

Чтобы не смущаться разными "зависимостями", предлагаю рассмотреть всё в наиболее общем виде.

Пусть $X$, $Y$, $A$ и $Z$ --- произвольные множества. Будем считать, что $Z$ содержит число $0$. Пусть $h$ --- некоторая функция из $X \times A$ в $Z$ и для каждого $a \in A$ пусть $H_a = \{ x \in X : h(x,a) = 0 \}$. Пусть теперь $f$ --- функция из $X \times Y$ в $A$ и $g$ --- функция из $X \times Y$ в $Z$, задаваемая правилом $g(x,y) = h(x,f(x,y))$.

Ясно, что

\[ \{ \langle x, y \rangle : g(x,y) = 0 \} = \{ \langle x,y \rangle : x \in H_{f(x,y)} \} \]

Ну а теперь подставьте сюда $X = Y = Z = A = \mathbb{R}$, $h(x,a) = x^2+4ax+4$ и $f(x,y) = \cos (xy)$, вот и будет вам обоснование всего, чего хотите.

[незваный гость]

Я не очень понимаю всю эту суету вокруг диван «зависит/не зависит». $x = 0$ не является решением. Если мы умеем найти все решения $x^2+4x\cos z+4 = 0$, то решениями исходного уравнения будут пары $(x, z/x)$
(и я надеюсь, что это очевидно). Более того, это преобразование очевидно работает и в обратную сторону.

Но, вообще говоря, это всё по барабану. Идея решения Brukvalubа — в том, чтобы не пугаться, а исследовать, при каких $a$ уравнение $x^2 + 4 a x + 4 = 0$ разрешимо. После чего задача превращается в систему: $x = f(a), \cos(x y) = a$. А дальше — воспользоваться свойствами косинуса (а ведь могли бы и что-нибудь поинтереснее вставить).