2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 уравнение с квадратом и косинусом
Сообщение18.01.2008, 20:36 
Вызывает затруднение =(
Было на к.р. в нашем лицее, хочется разобраться

$x^2+4x\cos (xy)+4=0$

 
 
 
 
Сообщение18.01.2008, 20:39 
Аватара пользователя
Посчитайте дискриминант этого уравнения, рассматривая его, как квадратное относительно х.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 03:12 
Все-таки нехорошо, наверное, рассматривать это уравнение как квадратное относительно $x$. Думаю, проще рассуждать, приведя его к виду $$(x^2-4x+4)+(4x\cos xy + 4x)=0$$, откуда уже почти все ясно.

P.S. Единственная тонкость здесь, вероятно, состоит в том, что надо отдельно рассмотреть случаи $x\geqslant 0$ и $x<0$. Представление выше информативно для первого случая, а при $x<0$ в него надо внести очевидные изменения.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 10:16 
Аватара пользователя
Gordmit писал(а):
Все-таки нехорошо, наверное, рассматривать это уравнение как квадратное относительно $x$
Кому от этого становится нехорошо? :shock: Такое рассмотрение эквивалентно представлению \[
(x + 2\cos (xy))^2  + 4(1 - \cos ^2 (xy))
\], и неотрицательность обоих слагаемых очевидна без перебора случаев.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 15:20 
Brukvalub писал(а):
Кому от этого становится нехорошо? :shock: Такое рассмотрение эквивалентно представлению \[
(x + 2\cos (xy))^2  + 4(1 - \cos ^2 (xy))
\], и неотрицательность обоих слагаемых очевидна без перебора случаев.
Ну странно как-то рассматривать уравнение как квадратное, если $x$ входит в аргумент косинуса. Не совсем понятно, почему можно рассматривать как квадратное уравнение, которое таковым не является :shock: Никому же не приходит в голову рассмотреть уравнение, скажем, $x^2+x^5+1=0$ как квадратное, в котором $b=x^4$. Или я чего-то не понимаю :oops:

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 15:24 
Ну чего Вы так разволновались? Вместо того, чтобы поблагодарить за новый для себя подход.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 15:25 
Аватара пользователя
Gordmit писал(а):
Никому же не приходит в голову рассмотреть уравнение, скажем, $x^2+x^5+1=0$ как квадратное, в котором $b=x^4$. Или я чего-то не понимаю :oops:


Просто в данном случае это рассмотрение ничего не даёт :D Хуже того, от уравнения пятой степени приводит к уравнению восьмой степени.

А так приём вроде бы вполне законный.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 15:32 
Я просто пытаюсь посмотреть на это с методической точки зрения, и мне кажется, что такой подход может сильно запутать :( Может я неправ.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 16:12 
Аватара пользователя
Хорошо, давайте рассуждать так. Пусть пара чисел \[x_0 \;;\;y_0 \] является решением уравнения, то есть\[
(x_0 )^2  + 4x_0 \cos (x_0 y_0 ) + 4 = 0\]. Теперь рассмотрим уже истинно квадратное уравнение \[(x )^2  + 4x \cos (x_0 y_0 ) + 4 = 0\], которое обязательно имеет корень, поэтому должно выполняться неравенство \[D = 4\cos ^2 (x_0 y_0 ) - 4 \ge 0\]. Иными словами, для решений исходного уравнения должно выполняться неравенство \[D = 4\cos ^2 (x y ) - 4 \ge 0\], и это условие можно выразить словами
Brukvalub писал(а):
Посчитайте дискриминант этого уравнения, рассматривая его, как квадратное относительно х.
и наложите необходимое условие неотрицательности его дискриминанта.

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 17:05 
Gordmit писал(а):
Ну странно как-то рассматривать уравнение как квадратное, если $x$ входит в аргумент косинуса.
Конструктивное предложение - сделать замену $z=xy$, тогда уравнение перепишется в совершенно квадратном виде: $x^2+4x\cos z+4$

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 18:39 
AD писал(а):
Конструктивное предложение - сделать замену $z=xy$, тогда уравнение перепишется в совершенно квадратном виде: $x^2+4x\cos z+4$
Нет, это не конструктивное предложение. Относительно которой переменной уравнение получится? Относительно $x$ оно не квадратное (точнее, не стало более квадратным, чем раньше :lol: ), т.к. $z$ зависит от $x$.

Впрочем, способ Brukvalub-а из предыдущего сообщения сделать уравнение квадратным, насколько я теперь вижу, вполне удовлетворительный. (Не думаю, что наиболее простой, очевидный и понятный, но это уже субъективная оценка - как решать уравнение, каждый решает сам, извините за каламбур. :D )

 
 
 
 
Сообщение19.01.2008, 21:29 
Gordmit писал(а):
т.к. $z$ зависит от $x$.
А "зависит" - это как вообще? То есть я только что обнаружил, что не понимаю точного смысла этой фразы. Так, на уровне школьной интуиции что-то. И еще потом на занятиях по дифурам нас учили делать замены типа $y'=p(y)$ итп. Ведь число $z$ настолько же произвольно, насколько и $y$ ... по крайней мере при $x\neq0$ ... а кто сказал, что $y$ "не зависит" от $x$ ... короче, интересный вопрос, мне тоже хочется разобраться :)

Добавлено спустя 3 минуты 17 секунд:

Gordmit писал(а):
мне кажется, что такой подход может сильно запутать Может я неправ.
Вы правы, я - пример.

 
 
 
 
Сообщение20.01.2008, 07:50 
Аватара пользователя
Чтобы не смущаться разными "зависимостями", предлагаю рассмотреть всё в наиболее общем виде.

Пусть $X$, $Y$, $A$ и $Z$ --- произвольные множества. Будем считать, что $Z$ содержит число $0$. Пусть $h$ --- некоторая функция из $X \times A$ в $Z$ и для каждого $a \in A$ пусть $H_a = \{ x \in X : h(x,a) = 0 \}$. Пусть теперь $f$ --- функция из $X \times Y$ в $A$ и $g$ --- функция из $X \times Y$ в $Z$, задаваемая правилом $g(x,y) = h(x,f(x,y))$.

Ясно, что

\[
\{ \langle x, y \rangle  : g(x,y) = 0 \} = \{ \langle x,y \rangle : x \in H_{f(x,y)} \}
\]

Ну а теперь подставьте сюда $X = Y = Z = A = \mathbb{R}$, $h(x,a) = x^2+4ax+4$ и $f(x,y) = \cos (xy)$, вот и будет вам обоснование всего, чего хотите.

 
 
 
 
Сообщение20.01.2008, 09:50 
Аватара пользователя
:evil:
Я не очень понимаю всю эту суету вокруг диван «зависит/не зависит». $x = 0$ не является решением. Если мы умеем найти все решения $x^2+4x\cos z+4 = 0$, то решениями исходного уравнения будут пары $(x, z/x)$
(и я надеюсь, что это очевидно). Более того, это преобразование очевидно работает и в обратную сторону.

Но, вообще говоря, это всё по барабану. Идея решения Brukvalubа — в том, чтобы не пугаться, а исследовать, при каких $a$ уравнение $x^2 + 4 a x + 4 = 0$ разрешимо. После чего задача превращается в систему: $x = f(a), \cos(x y) = a$. А дальше — воспользоваться свойствами косинуса (а ведь могли бы и что-нибудь поинтереснее вставить).

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group