Интересная кривая

[shust]

Вот и настал знаменательный момент открытия тайны загадочной кривой, о которой,
практически никем не выдвинута никаких гипотез, за исключением одной, которая не увенчалась успехом.

Кривая, давшая название теме, имеет прямое отношение к т.н. суперстепенной функции
или к четвертому действию - tetration по-английски:
$y=x^{x^{{\ldots}^x$ (возведение в степень производится $a$ раз) - в привычных обозначениях или как
$y=a[4]x$ - в обозначениях общего действия.

Графики зависимости суперстепенной функции от переменной $x$ для различных значений
параметра $a$ можно посмотреть на рисунке ниже, взятым по ссылке
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration



(К сожалению, на рисунке обозначение этой функции в виде последовательного возведения
в степень и выбор соответствия конкретной формулы и представляющего ее графика цветом
не очень удачно. Лучше бы, чтобы у каждой кривой стояло бы значение параметра $a$,
которое ей соответствует).

Из рисунка, если внимательно присмотреться, то видно, что вид графиков зависит от того
четное число $a$ или нечетное и от диапазона изменения переменной $x$.

При $x > 1$ независимо от четности $a$ кривые с большим значением $a$ лежат выше кривой
с меньшим значением $a$.

При $x < 1$ все графики, соответствующие нечетным значениям $a$ лежат ниже графиков,
соответствующие четным значениям $a$. Заметим,что для нечетных значений $a$ чем больше $a$,
тем выше расположен соответствующий график, для четных значений $a$ чем больше $a$,
тем ниже расположен соответствующий график.
Из рисунка видно, что при стремлении $x$ к нулю, то если $a$-нечетное, то $y$ стремится к
$0$ и, если $a$-четное, то $y$ стремится к $1$.

Видно, что, если устремить параметр $a$ к бесконечности (практически достаточно выбрать,
например $a>1000$ - это тысяча "этажей" в традиционном представлении суперстепенной функции),
то все графики стремятся к некоторой предельной кривой $S$, имеющей точку разветвления.

Вот изображение этой предельной кривой $S$ и представлено в начале обсуждаемой темы.


Если два приведенных рисунка совместить в одном, построив все графики в одних осях,
то хорошо видно, как графики функций $y=a[4]x$ стремятся к предельной кривой $S$
по мере стремления параметра $a$ к бесконечности.
При $x < 1$ все графики, соответствующие нечетным $a$ стремятся к
предельной кривой $S$ снизу, все графики, соответствующие четным $a$ стремятся к
предельной кривой $S$ сверху.
При $x > 1$ все графики независимо от значения $a$ стремятся предельной кривой $S$ снизу.

Более подробно об исследовании суперстепенной функции $y=a[4]x$, о предельной кривой $S$
на совмещенном рисунке, о четырех характерных ее точках можно ознакомиться в уже упомянутой книге ‹…› если это кому-то нужно и интересно, и если опять не сочтут за "рекламу".

Заинтересованным участникам предлагается разумно и математически корректно описать
эту предельную кривую $S$, особенно интересно было бы послушать мнения участников, которые
неравнодушно относится к вопросам строгости и корректности математических понятий.

нг:

Реклама удалена

[Henrylee]

Вот и открылась тайна "многозначности". Некорректно называть это графиком функции, так как, графиков тут два, потому как предельных функций две: верхний предел и нижний предел (а просто предельной функции вообще нет). Так бы сказали, глядишь, и поняли бы Вас
PS А для чего Вам эти функции, если не секрет? (только умоляю, про книгу ни слова, я про нее уже прочитал тут несколько раз )

[нг]

shust
Строгое замечание за повторную рекламу своей книги.

Тема закрывается, как исчерпавшая математическое содержание. Книги обсуждают в разделе «Околонаучный и книжный флейм».

Если у кого-либо (кроме автора темы) возникнет желание обсудить поднятые математические вопросы, пожалуйста, свяжитесь с модератором (ЛС).

shust, если есть вопросы у Вас, я готов на них ответить — в ЛС.