Анализ: минимум функции 2-х переменных.

[PVishnevskiy]

Найти минимум функции:

$f(x, y) = \sqrt{x^2 - 39x + 507} + \sqrt{y^2 - 138y + 6348} + \sqrt{x^2 -xy + y^2}$

Если считать на прямую (система уравнений первых частных производных равных нулю, вторые частные производные и т.д) то получается очень долго и муторно хотя к ответу в конце приходишь:

$x_{min} = \frac {598}{35}, y_{min} = \frac {299}{12}, f_{min} = 93$

Оказывается есть путь легче, через тригонометрию как-то. Вопрос в том - как?

Значит, я сначала пытался выделить полный квадрат в первых двух корнях:

$x = \frac {39}{2} + \frac{\sqrt{507}}{2}\tg(u)$

$y = 69 + \sqrt{1587}\tg(v)$

и использовать новые переменные $u$ и $v$. Тогда первые два корня исчезают но выражение в третьем корне становится громоздким и неудобным.

Потом я заметил что числа во всех трёх выражениях подобраны так что их можно переписать в форме теоремы косинусов:

$x^2 - 39x + 507 = x^2 + \sqrt{507}^2 - 2x\sqrt{507}\cos 30$

$y^2 - 138y + 6348 = y^2 + \sqrt{6348}^2 - 2y\sqrt{6348}\cos 30$

$x^2 - xy + y^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos 60$

То есть каждое подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата "третьей стороны", но не понятно что это даёт.

Кто-нибудь может предложить как проще такой минимум посчитать. Спасибо.

[mihailm]

Очевидно же: 30+30=60)
Известная задача.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И., Факультативный курс по математике. Решение задач, 11 кл., 1991
11 разобранная задача в 5 параграфе

[PVishnevskiy]

А, понятно. Значит никаких производных вообще считать не надо. Надо только построить треугольник со сторонами $\sqrt{507}$ и $\sqrt{6348}$ и с углом 120 градусов между ними. Третью сторону можно посчитать по теореме косинусов, останется тольно найти $x$ и $y$ и т.д.

Спасибо.

[mihailm]

Да, после этой хитрости все просто (относительно).

(Оффтоп)

Надеюсь народ понял, что 30+30=60 это шутка, точнее я ошибся) 30+30+60 так правильнее

[PVishnevskiy]

Да, длина третьей стороны и будет минимумом выражения, по теореме косинусов это $93$. И в этом треугольнике будет два угла по $90$ градусов: между $\sqrt {507}$ и $y$ и между $\sqrt {6348}$ и $x$. Тогда $x$ и $y$ будут высотами и через равенство площади самой себе находим ещё одну связь между ними:

$y \times \sqrt {507} = x \times \sqrt {6348}$

Ну и т.д.