Вращение твердого тела

[unistudent]

Батороев в сообщении #963563 писал(а):

Вообще-то, как правило, легче найти отдельно параметры относительного движения (в СО шарика) и параметры переносного движения (вращение шарика относительно оси стакана), а затем путем векторного сложения найти параметры верхней точки шарика в СО стакана.

Не знаю. Если делать как говорите вы, то надо последовательно выполнить следующие действия:
1) найти центр одной из окружностей касания на шарике,
2) найти скорость найденного центра,
3) по скорости найденного центра найти угловую скорость собственного вращения шарика вокруг оси конуса,
4) найти угловую скорость СО движущейся вместе с шариком,
5) сложить найденные угловые скорости.

То есть пять действий, в то время как в СО стакана сразу находим, что

$$\omega=\frac{[r,v]}{|r|^2},$$

где $v$ - скорость центра шарика, а $r$-вектор, соединяющий точку мгновенной оси с центром шарика.

[Батороев]

Я не ставил целью найти самое короткое решение задачи, а попытался прояснить, как лучше в ней разобраться, например, как определить условие непроскальзывания, отыскать ось вращения на шарике и ГМТ на нем и пр.

[Oleg Zubelevich]

Батороев в сообщении #963563 писал(а):

Нахождение ГМТ касания на шарике - задача не трудная.

нет это трудная задача, если заниматься ее решением, а не бездоказательной болтовней

[Батороев]

Oleg Zubelevich в сообщении #964727 писал(а):

Батороев в сообщении #963563 писал(а):

Нахождение ГМТ касания на шарике - задача не трудная.

нет это трудная задача, если заниматься ее решением, а не бездоказательной болтовней

Определить на сфере два параллельных сечения с заданным отношением длин окружностей, в данном случае $\dfrac{R}{R-r}$, - неужели так трудно? Вы меня удивляете!!!

[Oleg Zubelevich]

и какое эти сечения имеют отношение к ГМТ точек контакта?

[Батороев]

На шаре ГМ точек контакта представляют собой две параллельные окружности. Сечения шара по этим окружностям приведены для наглядности.

[Oleg Zubelevich]

докажите, что это окружности, докажите, что их длины именно такие, как Вы пишите выше

[Батороев]

Две точки МЦС, а соответственно, и отрезок их соединяющий находятся в плоскости, проходящей через ось стакана и центр шарика. Следовательно, вектора скоростей всех точек шара находятся в плоскостях, перпендикулярных указанной плоскости, что указывает на то, что поворота шарика в данной плоскости нет. Таким образом, ГМТ на шаре - две параллельные окружности на его поверхности.

Условием непроскальзывания является то, что при прохождении шариком полного круга по стакану, длины соответствующих ГМТ на стакане и ГМТ на шарике должны быть равны. Не вдаваясь в подробности действительных величин длин этих окружностей ГМТ, очевидно, что отношение большей длины к меньшей у ГМТ и на стакане, и на шарике должны быть равны.

Не расписывая решение школьной задачи о нахождении двух сечений с заданным отношением радиусов, а соответственно, и длин окружностей, сразу запишу ответ: $\tg{\alpha}=\ctg{\beta}=\dfrac{R}{R-r}$, где $\alpha$ и $\beta$ - половина углов при вершине соответственно большего и меньшего конусов, построенных на указанных окружностях с вершиной в центре шарика.

[unistudent]

Батороев в сообщении #965380 писал(а):

Две точки МЦС...

В принципе понятно, но само утверждения я бы сформулировал следующим образом. Пусть шар $B$ катится как описано в задаче. В качестве СО возьмем подвижную систему, одна из плоскостей которой проходит через ось стакана и центр шара. Известно (см. выше), что в любой момент времени $t$ существует мгновенная ось вращения, скажем, $l(t)$. Обозначим через $p$ точку контакта шара с дном стакана в какой-нибудь момент времени и рассмотрим плоскость $\pi$ такую, что $\pi \ni p$ и $\pi \perp l(t)$. Надо доказать, что в любой момент времени шар касается дна стакана точками границы диска $D$ = \pi \cap B, и только ими.
Док-во тривиально следует из того, что мгновенная ось $l(t)$ проходит через центр шара и $\alpha(t) \equiv \operatorname{const}$, где $\alpha$ - угол, образуемый мгновенной осью с дном стакана. Последнее же очевидно в силу симметрии конфигурации системы относительно оси стакана.

[Батороев]

unistudent в сообщении #965522 писал(а):

Док-во тривиально следует из того, что мгновенная ось $l(t)$ проходит через центр шара и $\alpha(t) \equiv \operatorname{const}$, где $\alpha$ - угол, образуемый мгновенной осью с дном стакана. Последнее же очевидно в силу симметрии конфигурации системы относительно оси стакана.

На мой взгляд, одной симметрией не обойтись, т.к. допускает то, что ГМТ могли бы оказаться и двумя параллельными спиралями на сфере.

[unistudent]

Батороев в сообщении #965568 писал(а):

На мой взгляд, одной симметрией не обойтись, т.к. допускает то, что ГМТ могли бы оказаться и двумя параллельными спиралями на сфере.

Нет же, почему? Доказано же, что в любой момент точка касания лежит на границе диска $D$. Симметрия используется лишь для того, чтобы показать, что угол наклона мгновенной оси - величина неизменная

-- 20.01.2015, 15:08 --

хотя, может вы и правы. Одного положения мгновенной оси по отношению к СО недостаточно для того, чтобы утверждать, что в любом положении мы имеем дело с одним и тем же диском. Вот если бы мы доказали, что мгновенная ось неизменна по отношению к шару, то все бы сразу встало на свои места.

[Oleg Zubelevich]

Батороев в сообщении #965380 писал(а):

Следовательно, вектора скоростей всех точек шара находятся в плоскостях, перпендикулярных указанной плоскости,

это бессмыслица. через заданный вектор всегда можно провести плоскость, которая перпендикулярна заданной плоскости.

[Батороев]

Oleg Zubelevich в сообщении #965601 писал(а):

Батороев в сообщении #965380 писал(а):

Следовательно, вектора скоростей всех точек шара находятся в плоскостях, перпендикулярных указанной плоскости,

это бессмыслица. через заданный вектор всегда можно провести плоскость, которая перпендикулярна заданной плоскости.

Выражусь точнее: "все вектора нормальны (перпендикулярны) указанной плоскости".

[Oleg Zubelevich]

Батороев в сообщении #965975 писал(а):

е: "все вектора нормальны (перпендикулярны) указанной плоскости".

а это просто неверно

[Батороев]

Oleg Zubelevich в сообщении #966034 писал(а):

а это просто неверно

Поправлюсь: "вектора скоростей точек шара в указанном сечении..."