Оценка нормы матрицы

[or15]

Дано что матрица $A$ обратима и дано что
$ \frac{\left\lVert B\right\rVert}{\left\lVert A \right\rVert } < cond(A)$
Нужно доказать что $A+B$ обратима.

Решение:
$A+B=A(I+A^{-1}B)$.
Таким образом $A+B$ обратима если обратима $I+A^{-1}B$ . Т.е. надо показать что
$\left\lVert A^{-1}B\right\rVert<1$.

Из данных задачи
$ \frac{\left\lVert B\right\rVert}{\left\lVert A \right\rVert } < cond(A)=\left\lVert A\right\rVert \cdot \left\lVert A^{-1}\right\rVert$
Тогда
$ \left\lVert B \right\rVert < {\left\lVert A\right\rVert}^2 \left\lVert A^{-1}\right\rVert $

$\left\lVert A^{-1}B \right\rVert \leq \left\lVert A^{-1}\right\rVert \left\lVert B \right\rVert < {\left\lVert A\right\rVert}^2{\left\lVert A^{-1} \right\rVert}^2=\rho(A)\cdot\rho(A^{-1})$

где $\rho(A)$ -спектральный радиус. Я использую здесь спектральную норму.
Дальше не вижу как продвинуться. Получаю оценку $>1$ когда нужно $<1$.
Кто-нибудь может подсказать как это сделать?
Заранее спасибо

[g______d]

or15 в сообщении #965406 писал(а):

Дано что матрица $A$ обратима и дано что
$\frac{\left\lVert B\right\rVert}{\left\lVert A \right\rVert } < cond(A)$
Нужно доказать что $A+B$ обратима.

А это разве правда? Возьмите любую матрицу с $\mathrm{cond}(A)>1$ и пусть $B=-A$.

-- Вт, 20 янв 2015 01:33:48 --

Ну а если в условии заменить $\mathrm{cond}(A)$ на $\frac{1}{\mathrm{cond}(A)}$, то решение более-менее Вами уже написано.

[ewert]

Более-менее. Если абстрагироваться от того, что вот здесь

or15 в сообщении #965406 писал(а):

$\left\Vert A^{-1}B \right\Vert \leq \left\Vert A^{-1}\right\Vert \left\Vert B \right\Vert< {\left\Vert A\right\Vert}^2{\left\Vert A^{-1} \right\Vert}^2=\rho(A)\cdot\rho(A^{-1})$

где $\rho(A)$ -спектральный радиус

последний переход адекватностью не страдает.