Одна задача о минимумах многочленов от нескольких переменных

[Evgenjy]

Sender в сообщении #965538 писал(а):

степень каждой из переменной в любом члене этого многочлена не превышает 2.

Тогда один локальный минимум.

[vpb]

Evgenjy,
спасибо за ответ, но Вы, наверное, не обратили внимания на следующее. Я раньше уже
оговорился, что на самом деле мне интересен только случай, когда функция по каждой
переменной не более чем квадратична. В первоначальной формулировке я это
условие опустил, т.к. думал, может, оно для задачи в целом не так уж и существенно;
но Ваш пример показал, что все таки это условие очень существенно, еще раз
спасибо.

Отмечу также, что мне интересны все локальные минимумы, а не только изолированные.
Стало быть, вопрос в настоящее время таков: конечно ли, вообще говоря, число
локальных минимумов, при оговоренных условиях?

С уважением, vpb.

P.S. Sender совершенно прав. Я, тем не менее, отправляю это сообщение (написал
его раньше, а отправку как-то отложил).

-- 20.01.2015, 19:03 --

Evgenjy,
насчет одного локального минимума --- Вы, по моему, опять ошиблись. Кажется,
$x^2y^2+x^2+y^2-3xy$ имеет два минимума (если я сам не ошибаюсь,
т.к. думал об этом только устно). А вот возможно ли три (при $d=4$,
$n=2$) --- вопрос. Надо считать, и, наверное, это не так уж легко.
vpb

[Evgenjy]

Evgenjy в сообщении #965707 писал(а):

Тогда один локальный минимум.

Эта моя гипотеза не верна.
Предлагаю другую гипотезу для случая $d=4$ и когда функция по каждой переменной не более чем квадратична: $n(n-1)$.

[vpb]

Evgenjy,
а на чем Ваша гипотеза основана?
vpb

[Evgenjy]

Evgenjy в сообщении #965910 писал(а):

Предлагаю другую гипотезу для случая $d=4$ и когда функция по каждой переменной не более чем квадратична: $n(n-1)$.

Это тоже неверно. Появилась еще одна гипотеза. Доказательства у меня нет. Есть некоторые соображения геометрического характера. В результате получилось следующее. Пусть
$k=\left\lfloor\frac{n-\sqrt{n+2}}{2}\right\rfloor+1$ и $m=\left\lfloor\frac{n+\sqrt{n+2}}{2}\right\rfloor$.
Тогда число локальных минимумов может достигать
$2^{n+1}-2(C_n^k+C_n^{k+1}+...+C_n^m)$.

[vpb]

Evgenjy,
спасибо за интерес к задаче. Интересно было бы знать, на чем Ваша гипотеза основана. Я же сейчас,
наверное, временно удалюсь с форума и поработаю над вопросом самостоятельно. vpb