Поговорим об оценке точности гипотезы Харди-Литлвуда для простых кортежей.
Начнем с проверки выполнения центральной предельной теоремы в форме Ляпунова для второй вероятностной модели.
Напомню формулировку теоремы.
Если взаимно независимые случайные величины

имеют конечные абсолютные центральные моменты третьего порядка

, (

), где

- математическое ожидание случайной величины

и если эти моменты удолетворяют условию:

(1), то случайная величина

имеет асимптотическое нормальное распределение.
Во второй вероятностной модели случайная величина

принимает значение 1 с вероятностью

и значение 0 с вероятностью

. Поэтому

.
Тогда
![$$M(|x_i-a_i|^3)=M(|x_i-p_i|^3)=(1-p_i)^3 p_i+p_i^3(1-p_i)=(p_i-{p_i}^2)[{(1-p_i)}^2+{p_i}^2].(2)$$ $$M(|x_i-a_i|^3)=M(|x_i-p_i|^3)=(1-p_i)^3 p_i+p_i^3(1-p_i)=(p_i-{p_i}^2)[{(1-p_i)}^2+{p_i}^2].(2)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/4/3245cb6f8f095c261a46555b74a2e61582.png)
Во второй вероятностной модели дисперсия случайной величины

равна

. (3)
На основании (2), (3) получим:
![$$\sum _{i=1}^{n} M(|x_i-a_i|^3)/(D_n)^{3/2}=\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)[(1-{p_i}^2)+{p_i}^2]/(\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)^{3/2}<1/(\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)^{1/2}.(4)$$ $$\sum _{i=1}^{n} M(|x_i-a_i|^3)/(D_n)^{3/2}=\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)[(1-{p_i}^2)+{p_i}^2]/(\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)^{3/2}<1/(\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)^{1/2}.(4)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/6/6d636e6ff1c4e87a9197f08dc148e77682.png)
Поэтому, если ряд

расходится, то на основании (4) выполняется условие (1) предельной теоремы в форме Ляпунова.
В частном случае, если

, то условие (1) выполняется.