Модуль комлексного числа

[phys]

Верно ли, что если $z = \dfrac{1}{x}$, где $x$ - комплексное, то $|z| = \left| \dfrac{1}{x} \right| = \dfrac{1} {\left|x\right|}$?
Запутался совсем.

[provincialka]

Да, верно, если $x\ne0$

[phys]

Хм.

$|z| = \left| \dfrac{1}{a+ib} \right| =\left| \dfrac{a-ib}{a^2 + b^2} \right| =\left| \dfrac{a}{a^2 + b^2} - i\dfrac{b}{a^2 + b^2} \right| = \sqrt{\dfrac{a^2}{(a^2 + b^2)^2} +\dfrac{b^2}{(a^2 + b^2)^2}} = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{(a^2 + b^2)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \dfrac{1}{ \left| a+ib \right|}

Случайно совпало!

[arseniiv]

Можно доказать сначала $|zw|^2 = |z|^2|w|^2$ (по идее, быстрее), потом сразу $zw := 1$.

[grizzly]

arseniiv
Это я подсказал ТС такой нелёгкий путь. Потом удалил свою подсказку, засомневавшись в её целесообразности и / или в возможностях ТС (это, оказалось, зря). Не уверен насчёт методологической обоснованности, но имхо -- для распутывания запутанных мыслей такие упражнения самое оно.

[gris]

А если в показательной форме записать?