Интегральное уравнение типа Абеля.

[Red_Herring]

Лучше (для более точной оценки) оценивать еще и скалярное произведение $\langle (H-\mu_n)u_n,u_n\rangle$ где $u_n=e^{2\pi in x}$. Я уверен на 99% что $|\lambda_n-\mu_n|=O(|n|^{\alpha-2})$

[Red_Herring]

Подробнее: пусть $T$ оператор свертки с $|x|^{-\alpha}$ (на всей прямой), $\chi_-$, $\chi$ и $\chi_+$ характеристические функции $(-\infty,0)$, $(0,1)$, $(1,\infty)$, $\gamma$-оператор сужения на $(0,1)$. Тогда $H=\gamma T\chi$. Пусть $u_n=e^{2\i i nx}$. Подсчитаем при $n\ne 0$

$$ Hu_n= \gamma T\chi u_n= \gamma T u_n - \gamma T\chi_- u_n - \gamma T\chi_+ u_n. $$

Тогда $\gamma T u_n = \mu_n u_n$ с $\mu_n=c(2\pi n)^{\alpha-1}$.
Показать что $L^2$–нормы 2х последних членов не превосходят $C|n|^{\alpha -\frac{3}[2}}$ и что их скалярные произведения с $u_n$ не превосходят по модулю $C|n|^{\alpha -2}$. Использовать интегрирование по частям.


Отсюда и будет следовать нужная оценка $|\lambda_n-\mu_n$.

[amon]

Что бы участники обсуждения не считали свое время напрасно потраченным, отчитаюсь о проделанном. Уважаемый Red_Herring задачку нам решил, и осталось только перевести его решение с высокого наречия на язык простых смертных. Итак, оператор Абеля действует на функцию так: $\hat{K}y(x)=\int\limits_{-1/2}^{1/2}\frac{y(x')dx'}{|x-x'|^\eta}$. Этот оператор вполне непрерывен, спектр его ограничен и сгущается к нулю. Введем другой оператор $\tilde{K}$, ядро которого есть $\tilde{K}(x,x')=\sum\limits_{n}\exp(-2\pi i n x)K_n\exp(2\pi i n x'),\quad K_n=\int\limits_{-1}^{1}\frac{\exp(2\pi i n x)}{|x|^\eta}dx.$ Собственными функциями оператора $\tilde{K}$ на промежутке $[-1/2,1/2]$ будут $\varphi_n(x)=\exp(2\pi i n x)$, а собственными значениями - $K_n$. При $n\gg 1\;K_n\sim 1/n^{1-\eta}$. Запишем $\hat{K}=\tilde{K}+\hat{K}-\tilde{K}$, и рассмотрим разность $\hat{K}-\tilde{K}$ как возмущение. Поправки к сз $\delta K_n=\left\langle\varphi_n\right\rvert\hat{K}-\tilde{K}\left\lvert\varphi_n\right\rangle\sim1/n^{2-\eta}\ll K_n$.
А на самом деле считали мы величину $\sum\limits_{n}\ln(1+4g^2T^{2-2\eta}\lambda_n^2)$, которая получилась равной (при больших $T$)

$$\sum\limits_{n=1}^{N-1}\ln(1+4g^2T^{2-2\eta}\lambda_n^2)+T\int\limits_{0}^{\infty}\ln\left(1+\frac{A}{y^{2-2\eta}}\right)dy$$

.
($A$- некая считабельная константа.) Сие нас вполне устроило, тем более, что результат совпал с полученным независимо из теоремы Сегё-Фишера. Всем спасибо! Отдельное спасибо Red_Herring'у.