Задача Гурса

[gammaker]

Есть задача Гурса, которую надо решить:
$u_x_x-u_y_y+\frac{4}{x} u_x + \frac{2}{x^2} u=0$
$u|_y_=_x=1$
$u|_x_=_1=y$
$y>x, x>1$

Заменой $\xi=x-y$ и $\eta=x+y$ привёл её к виду
$u_\xi_\eta+\frac{2}{\xi+\eta}(u_\xi+u_\eta)+\frac{2}{(\xi+\eta)^2}u=0$
$u|_\xi_=_0=1$
$u|_\xi_+_\eta_=_2=\frac{\eta-\xi}{2}$
$\xi<0, \xi+\eta>2$

Опять получились начальные условия на прямых, одна из которых направлена не по оси. Во всех примерах, которые я видел в учебниках, в википедии и в семинарах, везде заданы граничные условия на осях x и y или параллельных им прямых.

В учебнике Владимирова делают замену $v=u_x$ и $w=u_y$, всё остальное переносят в правую часть, а потом интегрируют. Но я не могу сообразить, как интегрировать в моём случае.

[Red_Herring]

Как Вы правильно заметили, это не задача Гурса, а нечто другое. Прежде чем менять переменные ($\xi,\eta=$? Мы не ясновидящие ) умножьте уравнение на $x^2$ и выведите волновое уравнение для $x^2u$, затем найдите его общее решение и подставьте в граничные условия.

[gammaker]

Но в задачнике перед условием задачи пишут "требуется найти решение поставленной задачи Гурса и доказать единственность этого решения".

Правка:
Кстати да, посмотрел в ответ, там написано указание сделать замену $u=\frac{v}{x^2}$. Попробую...

[Red_Herring]

А это с Вы спрашивайте у автора

[gammaker]

В общем, задачу решил. Получилось u=y/x, с ответом сходится. Оказалось легко, но сам бы я вряд ли заметил, что заменой $v=\frac{u}{x^2}$ оно сводится к простейшему волновому уравнению без всяких неоднородностей. Назвав эту задачу задачей Гурса меня сбили с толку и я искал решение не там, где надо.

Спасибо Вам большое за помощь.