ряд Тейлора функции комплексного переменного

[hsidhv]

Добрый день. Сейчас разбираюсь с рядом Тейлора функции комплексного переменного и не могу понять один момент: коэффициенты в ряде вычисляются по формуле: $C_n=\frac 1 {2\pi i}\oint {\frac {f (z)dz}{(z-z_0)}}$ . Также в учебнике сказано,что эти же коэффициенты можно считать по формуле: $\frac {f^{(n)}(z_0)}{n!} $ . Почему так можно делать? У нас же в одном случае интеграл, а в другом производная одной и той же функции.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны неправильные формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

- приведите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Ms-dos4]

Берём формулу $\[f({z_0}) = \frac{1}{{2\pi i}}\oint\limits_\Sigma {\frac{{f(z)}}{{z - {z_0}}}dz} \]$ (интегральная типа Коши). А теперь дифференцируйте. Справа - стандартно, под знаком интеграла.

[Brukvalub]

hsidhv в сообщении #964832 писал(а):

Добрый день. Сейчас разбираюсь с рядом Тейлора функции комплексного переменного и не могу понять один момент: коэффициенты в ряде вычисляются по формуле: $C_n=\frac 1 {2\pi i}\oint {\frac {f (z)dz}{(z-z_0)}}$ . ...

Это ошибочная формула!

[hsidhv]

Если я правильно понял, то это интегральная сумма обозначена так?
То, что под знаком интеграла, мы должны дифференцировать как сложную функцию. При этом получим $\frac {f'(z)(z-z_0) - f (z)}{(z-z_0)^2} $ , в то время, как слева просто $f'(z_0) $. Как мы получим исходное равенство?

-- 19.01.2015, 15:45 --

[/quote]Это ошибочная формула![/quote]
Эту формулу я взял из учебника. В лекции также. Может я описался. Скажите, что не так?

[ИСН]

Не так - то, что слева стоит $C_n$, а справа стоит штука, никак не зависящая от $n$.

[Ms-dos4]

hsidhv
Какая ещё интегральная сумма?
Вы не по тому дифференцирутете. У вас $\[{z_0}\] $ - это параметр. Вот по нему надо
P.S.А вот когда сами сделаете, тогда и увидите, что не так

[hsidhv]

Все, понял что не так: забыл факториал и степень дописать,точно)
А вот на счет дифференцирования не совсем врубился... Как мы так дифференцируем под знаком интеграла? Там же есть dz. Да и сама подынтегральная функция зависит от z.

[Ms-dos4]

hsidhv
Вы слышали что нибудь про дифференцировании под знаком интеграла (ну или по другому дифференцирование интегралов по параметру)? Вот в данном случае, параметр это $\[{z_0}\]$ и дифференцировать нужно именно по нему (у вас например слева вообще от $\[z\]$ зависимости нет, там зависимость от $\[{z_0}\]$)

[Brukvalub]

hsidhv в сообщении #964921 писал(а):

Все, понял что не так: забыл факториал и степень дописать,точно)
А вот на счет дифференцирования не совсем врубился... Как мы так дифференцируем под знаком интеграла? Там же есть dz. Да и сама подынтегральная функция зависит от z.

Это вы по $d$ дифференцируете?:

[hsidhv]

Честно говоря, первый раз такую штуку вижу...Че с этим делать более -менее понятно,но есть другой вопрос: у нас при дифференцировании должны появляться минусы. Почему тогда нет множителя $(-1)^n$ ?

[Ms-dos4]

hsidhv
Какие ещё минусы, откуда? Ну ка покажите, как вы считали $\[\frac{\partial }{{\partial {z_0}}}[\frac{{f(z)}}{{z - {z_0}}}]\]$

[hsidhv]

Все, понял. Просто из-за отрицательной степени выражения там они должны были появляться. Но они всегда будут убираться минусами из $(z-z_0) $. Теперь все ясно, спасибо большое))