Волковыскиий 1.7

[Sinoid]

Проверьте, пожалуйста, решение задачи.
Задача. Исходя из геометрических рассмотрений, доказать неравенство
$\left|\dfrac{z}{\left|z\right|}-1\right|\leq\left|arg\, z\right|$.
Доказательство. Я считаю, что $-\pi<arg\, z\leq\pi$. Итак, $\dfrac{z}{\left|z\right|}=\cos\phi+\mathit{i}\sin\phi$, тогда $\dfrac{z}{\left|z\right|}-1=2\sin0,5\phi(-\sin0,5\phi+\mathit{i}\cos0,5\phi$, и, значит, весь сыр-бор сводится к неравенству $2\left|\sin0,5\phi\right|\leq\left|\phi\right|$ для $\phi$ из указанного промежутка, или $\left|\sin0,5\phi\right|\leq\left|\dfrac{\phi}{2}\right|$. Я это неравенство припоминаю, но в книгах не могу найти. Поэтому попробую доказать. Если $\left|\dfrac{\phi}{2}\right|\geq1$, то доказывать нечего. А если
$\left|\dfrac{\phi}{2}\right|<1$, то это неравенство следует из того, что минимум расстояние между двумя точками достигает на отрезке. Это при $\arg z\neq0$. В обратном случае непосредственно подсчитываю.

[Otta]

Sinoid в сообщении #964263 писал(а):

из геометрических

Да нарисуйте же.

[ex-math]

Это неравенство для $\varphi$ обычно рассматривают где-то рядом с доказательством первого замечательного предела.

От Вас хотят какой-то геометрии. Нарисуйте на плоскости $z/|z|$ (где оно должно лежать?), нарисуйте $1$. Где будет модуль разности и где модуль аргумента. Тогда все станет ясно, а по сути это повторит доказательство 1-го зам.пр.

То, что Вы получили: $|e^{i\varphi}-1|=2|\sin\frac{\varphi}2|$ -- запомните, пригодится потом.

[Sinoid]

Otta в сообщении #964265 писал(а):

Да нарисуйте же.

А разве вот это

Sinoid в сообщении #964263 писал(а):

то это неравенство следует из того, что минимум расстояние между двумя точками достигает на отрезке.

не заменяет рисунок? (там рисунок-то пустячковый, я в уме вижу).

ex-math в сообщении #964321 писал(а):

Нарисуйте на плоскости $z/|z|$ (где оно должно лежать?)

На единичной окружности с центром в точке О.

ex-math в сообщении #964321 писал(а):

Тогда все станет ясно

Так мне уже ясно и я спрашиваю, верна или нет моя "ясность"?

-- 18.01.2015, 22:32 --

ex-math в сообщении #964321 писал(а):

От Вас хотят какой-то геометрии

Задание дано в самом начале книги, до пределов и геометрический путь представляется мне наиболее доступным в этой ситуации.

[ex-math]

Видимо да, если мы один и тот же рисунок имеем в виду.

-- 18.01.2015, 21:34 --

Это ответ на вопрос "верна ли ясность".

[Sinoid]

ex-math в сообщении #964496 писал(а):

Видимо да, если мы один и тот же рисунок имеем в виду.

Хорошо, вот мой рисунок:

где $\angle AOB=\angle A'OB=1\,\mbox{рад}$. $\dfrac{z}{\left|z\right|}$ лежит на красной дуге, исключая концы.

[ex-math]

Давайте забудем про синусы. Пусть точка $A$ -- это $z/|z|$, точка $B$ -- единица. Тогда длину какой линии на рисунке означает левая часть равенства из условия задачи, а какой -- правая?

[Sinoid]

ex-math в сообщении #964558 писал(а):

Пусть точка $A$ -- это $z/|z|$,

Не совсем удачное предложение, потому что

Sinoid в сообщении #964545 писал(а):

$\angle AOB=\angle A'OB=1\,\mbox{рад}$

Давайте так. Пусть $M$- точка на красной дуге. Тогда левая часть -это отрезок $MB$, правая часть дуга $MB$. И опять-таки будем использовать то, что отрезок короче дуги с теми же концами. Мы с вами используем одно и тоже геометрическое свойство, только я исходное неравенство преобразовал.

[Otta]

А 1 радиан тут каким боком вылез?

[Sinoid]

Otta в сообщении #964792 писал(а):

А 1 радиан тут каким боком вылез?

Так я же писал

Sinoid в сообщении #964263 писал(а):

Если $\left|\dfrac{\phi}{2}\right|\geq1$, то доказывать нечего. А если
$\left|\dfrac{\phi}{2}\right|<1$, то это неравенство следует из

Я свел доказательство исходного неравенства к доказательству неравенства $\left|\sin\alpha\right|\leq\left|\alpha\right|$, если $\left|\alpha\right|<1\,\mbox{рад}$

[Otta]

Вас ex-math попросил нарисовать картинку

ex-math в сообщении #964558 писал(а):

Пусть точка $A$ -- это $z/|z|$, точка $B$ -- единица. Тогда длину какой линии на рисунке означает левая часть равенства из условия задачи, а какой -- правая?

(Какое-то недопонимание прёт.)
Нарисуйте, пожалуйста, в точности те точки, которые он просит. И укажите именно те длины.

[Sinoid]

Левая часть- отрезок $AB$, правая - дуга $AB$.

[ex-math]

Теперь видите, что можно было не сводить к синусам?
Хотя, повторюсь, то, что Вы получили -- $|e^{ix}-1|=2|\sin\frac x2|$ -- тоже полезный продукт.

[Sinoid]

ex-math в сообщении #964987 писал(а):

Теперь видите, что можно было не сводить к синусам?

Да, можно и без синусов, но ведь и мое доказательство верно, только подлиннее.

[ex-math]

Разумеется.