Разностные производные

[SteelRend]

Сколько существует формул разностных производных второго порядка? Я смотрел в интернете, нашел три - дважды "назад", дважды "вперёд" и дважды "по центру". Есть ли ещё варианты?

Также помогите разобраться, как выводятся смешанные разностные ч. п. второго порядка. Пытался понять и запутался, может там, где я смотрел, есть ошибки.

Есть сеточная область $x_i = x_0 + ih_1& $y_j = y_0 + jh_2$. Рассмотрим функцию $u_i_j = f (x_i,y_j)$

$ u_x_y = \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_+_1_,_j-u_i_,_j_+_1+u_i_,_j }{h_1h_2} $

$ u_x_y = \frac{ u_i_,_j-u_i_-_1_,_j-u_i_,_j_-_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ h_1 h_2 } $

$ u_x_y = \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ 4 h_1 h_2 } $

для правых, левых и центральных ч. п. соответственно.

Не понимаю, как эти i и j меняются.

[Red_Herring]

Вторая производная это результат применения двух первых. Стандартно для первой производной используют 3 варианта: вперед, назад, по-центру. Соответственно для смешанной второй будет $3\times3=9$ вариантов (вкл вперед по $x$, назад по $y$). Разумеется, для первой есть еще менее стандартные варианты (включая многоточечные)

[Утундрий]

Прежде чем считать варианты неплохо бы определиться с размером шаблона. Иначе результаты разных авторов могут сильно не совпасть.

[ewert]

SteelRend в сообщении #964742 писал(а):

$ u_x_y = \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_+_1_,_j-u_i_,_j_+_1+u_i_,_j }{h_1h_2} $

$ u_x_y = \frac{ u_i_,_j-u_i_-_1_,_j-u_i_,_j_-_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ h_1 h_2 } $

$ u_x_y = \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ 4 h_1 h_2 } $

Зависит от того, к какой точке они приписываются.

Первые две -- к некоей полуцелой, третья -- к некоей целой.

Впрочем, это если лишь хочется поиметь второй порядок точности. Если же хватит и первого порядка, то какая разница -- все сойдут.

В любом случае лучше опираться не на учебнические авторитеты, а на здравый смысл. С точки зрения здравого смыслы все три формулы вполне прозрачны.

[Утундрий]

ewert в сообщении #965202 писал(а):

здравый смысл

Да скажем без обиняков: разложение в ряд Тейлора. А то ведь, здравый смысл, он у каждого свой... и не всегда здравый.

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #965206 писал(а):

Да скажем без обиняков: разложение в ряд Тейлора.

Не скажем: Тейлор тут далеко не всегда при чём. Т.е. Тейлор -- далеко не универсальный и далеко не всегда идейный способ получения подобных аппроксимаций.

А вот соображения здравого смысла -- в том, что касается аппроксимаций первого порядка -- универсальны абсолютно.

[Утундрий]

ewert в сообщении #965217 писал(а):

Тейлор тут далеко не всегда при чём. Т.е. Тейлор -- далеко не универсальный и далеко не всегда идейный способ получения подобных аппроксимаций.

Сфигли? Пруф или ниачом.