2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 11:46 
Сколько существует формул разностных производных второго порядка? Я смотрел в интернете, нашел три - дважды "назад", дважды "вперёд" и дважды "по центру". Есть ли ещё варианты?

Также помогите разобраться, как выводятся смешанные разностные ч. п. второго порядка. Пытался понять и запутался, может там, где я смотрел, есть ошибки.

Есть сеточная область $x_i = x_0 + ih_1& $y_j = y_0 + jh_2$. Рассмотрим функцию $u_i_j = f (x_i,y_j)$

$  u_x_y  =  \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_+_1_,_j-u_i_,_j_+_1+u_i_,_j }{h_1h_2} $

$ u_x_y   =  \frac{ u_i_,_j-u_i_-_1_,_j-u_i_,_j_-_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ h_1 h_2 } $

$ u_x_y   =  \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ 4 h_1 h_2 } $


для правых, левых и центральных ч. п. соответственно.

Не понимаю, как эти i и j меняются.

 
 
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 12:02 
Аватара пользователя
Вторая производная это результат применения двух первых. Стандартно для первой производной используют 3 варианта: вперед, назад, по-центру. Соответственно для смешанной второй будет $3\times3=9$ вариантов (вкл вперед по $x$, назад по $y$). Разумеется, для первой есть еще менее стандартные варианты (включая многоточечные)

 
 
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 19:33 
Аватара пользователя
Прежде чем считать варианты неплохо бы определиться с размером шаблона. Иначе результаты разных авторов могут сильно не совпасть.

 
 
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 22:10 
SteelRend в сообщении #964742 писал(а):
$  u_x_y  =  \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_+_1_,_j-u_i_,_j_+_1+u_i_,_j }{h_1h_2} $

$ u_x_y   =  \frac{ u_i_,_j-u_i_-_1_,_j-u_i_,_j_-_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ h_1 h_2 } $

$ u_x_y   =  \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ 4 h_1 h_2 } $

Зависит от того, к какой точке они приписываются.

Первые две -- к некоей полуцелой, третья -- к некоей целой.

Впрочем, это если лишь хочется поиметь второй порядок точности. Если же хватит и первого порядка, то какая разница -- все сойдут.

В любом случае лучше опираться не на учебнические авторитеты, а на здравый смысл. С точки зрения здравого смыслы все три формулы вполне прозрачны.

 
 
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 22:19 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #965202 писал(а):
здравый смысл

Да скажем без обиняков: разложение в ряд Тейлора. А то ведь, здравый смысл, он у каждого свой... и не всегда здравый.

 
 
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 22:40 

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #965206 писал(а):
Да скажем без обиняков: разложение в ряд Тейлора.

Не скажем: Тейлор тут далеко не всегда при чём. Т.е. Тейлор -- далеко не универсальный и далеко не всегда идейный способ получения подобных аппроксимаций.

А вот соображения здравого смысла -- в том, что касается аппроксимаций первого порядка -- универсальны абсолютно.

 
 
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 22:44 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #965217 писал(а):
Тейлор тут далеко не всегда при чём. Т.е. Тейлор -- далеко не универсальный и далеко не всегда идейный способ получения подобных аппроксимаций.

Сфигли? Пруф или ниачом.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group