ТФКП

[g______d]

Ms-dos4 в сообщении #964079 писал(а):

надо ещё рассмотреть $\[\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$, который выкинули

Наоборот, как раз этот интеграл рассматривать не надо, потому что он не существует.

TripleLucker в сообщении #964078 писал(а):

Или я предел неправильно считаю?

Интеграл от $-R$ до $R$ тоже не существует. Надо честно сосчитать интегралы от $-R$ до $-1-\varepsilon$ и от $-1+\varepsilon$ до $R$.

[TripleLucker]

Цитата:

Надо честно сосчитать интегралы от $-R$ до $-1-\varepsilon$ и от $-1+\varepsilon$ до $R$.

Они оба в логарифм от нуля уходят тогда:
$\[\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty ,\varepsilon - > 0} \ln \frac{{{{( - 1 - \varepsilon )}^3} + 1}}{{{R^3} + 1}} = \ln \frac{0}{\infty } = \ln 0\]$

Ну т.е. гадость :(.

[g______d]

TripleLucker в сообщении #964085 писал(а):

$\[\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty ,\varepsilon - > 0} \ln \frac{{{{( - 1 - \varepsilon )}^3} + 1}}{{{R^3} + 1}} = \ln \frac{0}{\infty } = \ln 0\]$

Откуда $+1$ в числителе?

TripleLucker в сообщении #964085 писал(а):

Они оба в логарифм от нуля уходят тогда:

Потому что их нужно сначала сложить, а потом предел взять.

[Ms-dos4]

g______d

(Оффтоп)

А разве такой финт
$\[\begin{array}{l} {\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^{ - 1 - \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} + \int\limits_{ - 1 + \varepsilon }^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} ] = \\ = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^{ - 1 - \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} + \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} - \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} + \int\limits_{ - 1 + \varepsilon }^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} ] = \\ = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} - \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} ] \end{array}\]$
Не проходит?

[TripleLucker]

Цитата:

Откуда $+1$ в числителе?

Ну вместо $x$ подставляем $-1-\varepsilon$, а единица как была, так и осталась. Оттуда же, откуда и в знаменателе. Сейчас сложу.

[g______d]

Ms-dos4, третий знак равенства откуда? Вы прибавили и вычли несуществующий объект? С этим надо осторожно.

TripleLucker в сообщении #964089 писал(а):

Ну вместо $x$ подставляем $-1-\varepsilon$, а единица как была, так и осталась. Оттуда же, откуда и в знаменателе.

Все равно не понял. Вы же в первообразную должны подставлять, а не в исходную функцию.

[provincialka]

g______d в сообщении #964100 писал(а):

Вы же в первообразную должны подставлять, а не в исходную функцию.

Он и подставляет в первообразную (от первого слагаемого). В исходной функции логарифма нет.

[g______d]

Я всё-таки предлагаю так: в интеграле с $\frac{3x^2}{x^3+1}$ (в смысле главного значения) явно вычислить первообразную и найти пределы. А оставшийся интеграл с $\frac{1}{x^3+1}$ (в смысле главного значения) взять по вычетам. Будет вычет в $e^{2\pi i/3}$ и половина вычета в $-1$.

-- Вс, 18 янв 2015 02:48:43 --

provincialka в сообщении #964102 писал(а):

Он и подставляет в первообразную (от первого слагаемого). В исходной функции логарифма нет.

А, теперь понял, прошу прощения. Да, правильно.

-- Вс, 18 янв 2015 02:49:11 --

g______d в сообщении #964103 писал(а):

явно вычислить первообразную и найти пределы

... что, с учетом последнего замечания, уже почти сделано.

[ex-math]

Ну а чем Вас вычеты не устраивают. Они и дадут главное значение. С $-1$ Вы справились, вся проблема в $C_R $. Но это тот же самый полувычет, только в бесконечности. Разложите функцию в ряд Лорана в бесконечности, формально, т.к. Вам на самом деле только первый член понадобится, и интегрируйте почленно.

[Ms-dos4]

g______d

(Оффтоп)

Да, я чушь написал. Я надеялся сделать вот как. По вышенаписанной схеме $\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} - \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} ]\]$, а $\[\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$ тоже рассмотреть в смысле главного значения, т.е. по типу $\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} = {\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{1}{{x + 1}}dx} \]$ (что даст нуль в пределе по $\[\varepsilon \]$), интеграл $\[\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$ тоже даст нуль. Ну а оставшийся (т.е. $\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^3} + 1}}dx} \]$ интегрируется стандартно с вырезом особой и даёт $\[\frac{\pi }{{\sqrt 3 }}\]$. Но я на это щас сам посмотрел и ужаснулся

[g______d]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #964113 писал(а):

$\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0,R \to \infty } [\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} - \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx} ]\]$

Я, наверное, зануда, но так тоже писать тоже не очень хорошо. Хотя с ответом сойдётся, если интеграл понимать как разность значений первообразных.

Ms-dos4 в сообщении #964113 писал(а):

$\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} = {\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{1}{{x + 1}}dx} \]$

Тоже не понятно. Там как минимум коэффициент другой.

[Lia]

(Оффтоп)

Есличо, я тут.

[Ms-dos4]

g______d

(Оффтоп)

Да, вот именно, что я в данном случае имел ввиду интеграл просто как разность первообразных, что вообще говоря неверно, конечно. А про коэффициент - да, но т.к. нуль выходит, я его и не написал
P.S.Я, конечно, неправ был, это даже не обсуждается. Строго нужно делать именно так, как говорили вы

-- Вс янв 18, 2015 14:01:41 --

Lia

(Оффтоп)

Да, прекращаем

[ex-math]

Вопрос к ТС: Вы смогли решить задачу, не используя первообразной? Имхо, от Вас именно этого преподаватель ждет.

[TripleLucker]

ex-math в сообщении #964318 писал(а):

Вопрос к ТС: Вы смогли решить задачу, не используя первообразной? Имхо, от Вас именно этого преподаватель ждет.

Ну вы сказали разложить ряд в бесконечности, я что-то вот такое вот получил:

$\[\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}} = \frac{3}{x}\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{3}{x}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{( - 1)}^k}{{(\frac{1}{{{x^3}}})}^k} + \frac{1}{{{x^3}}}} \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{( - 1)}^k}{{(\frac{1}{{{x^3}}})}^k}} \]$

Ну тут, если проинтегрировать, то нигде $-1$ - ой степени не получится:(. Как-то по-другому раскладывать надо?