Здравствуйте. Пытаюсь вычислить интеграл, но есть один момент, который вводит меня в тупик.
Переходим на комплексную плоскость.
Особыми точками будут три корня из уравнения в знаменателе и, как обычно, бесконечность:
Первые три являются простыми полюсами.
Контур я взял такой: полуокружность радиуса
![$\[R\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/c/79c22574359faed38deb7528e4c6211f82.png "$\[R\]$")
с положительной мнимой частью, выкинул точку на вещественной оси с помощью маленькой полуокружности радиуса
. Интеграл разбился на 4 части :
![$\[\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {f(z)dz = \int\limits_{{C_R}}^{} {} + \int\limits_{\gamma _\varepsilon ^ - }^{} {} + \int\limits_{{\tau _{R\varepsilon }}}^{} {} + \int\limits_{\tau _{R\varepsilon }^'} {} } \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/9/69991ec57589b3e3ec20f932fdfe724f82.png "$\[\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {f(z)dz = \int\limits_{{C_R}}^{} {} + \int\limits_{\gamma _\varepsilon ^ - }^{} {} + \int\limits_{{\tau _{R\varepsilon }}}^{} {} + \int\limits_{\tau _{R\varepsilon }^'} {} } \]$")
,
где интеграл слева по замкнутой области (считаем через вычеты), первый интеграл справа по дуге большой окружности, второй интеграл по дуге маленькой окружности ПО часовой стрелке, а последние два в пределе (это маленькие кусочки вещественной оси) по обоим параметрам дают наш ответ, т.е. интеграл по всей вещественной оси.
Внутри области только один вычет -
, поэтому интеграл равен:
![$\[\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {f(z)dz = 2\pi i(1 + \frac{{{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}}}{3}} )\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/3/73338e4f146b48f34938e24faa16ac7f82.png "$\[\int\limits_{{D_{R\varepsilon }}}^{} {f(z)dz = 2\pi i(1 + \frac{{{e^{ - \frac{{2\pi i}}{3}}}}}{3}} )\]$")
Второй интеграл справа считаем по лемме о полувычете:
![$\[\int\limits_{{C_R}}^{} {f(z)dz = - \pi i\mathop {{\mathop{\rm Re}\nolimits} s}\limits_{z = - 1} (f(z))} = - \frac{{4\pi i}}{3}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/2/2427e8f3833b6b714449da8f8a2df56682.png "$\[\int\limits_{{C_R}}^{} {f(z)dz = - \pi i\mathop {{\mathop{\rm Re}\nolimits} s}\limits_{z = - 1} (f(z))} = - \frac{{4\pi i}}{3}\]$")
Но вот первый интеграл слева обычно в ноль уходит(либо по лемме Жордана, либо просто по оценке для интеграла), а тут при оценке даже так видно, что в числителе 3-ья степень и в знаменателе тоже. Что с этим делать, я не знаю. Да и к тому же те два посчитанные интеграла не дают вещественное число, которое должно получиться в ответе, т.к. интеграл считаем вещественный.
?
и по ![$\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/5/3a5ad831e8b969327a3468b757ed990e82.png "$\[{\rm{v}}{\rm{.p}}{\rm{.}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$")
. Разбиваете интеграл на два и вперёд. Обе функции прекрасно интегрируются и без ТФКП.
. Я в вольфрам его забивал, как неопределенный, там логарифмы и арткангенсы, а логарифмов аж несколько, разве это легко? Ну первый легкий, да, а вот второй. На простые дроби раскладывать - это то еще испытание же. Там такие корни некрасивые. Но я попробую все равно.
![$\[{x^3} + 1 = (x + 1)({x^2} - x + 1)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/6/dd657a1353bb6aeea49e781c3101e7e182.png "$\[{x^3} + 1 = (x + 1)({x^2} - x + 1)\]$")
(то бишь как геом. прогрессия). Вот и простые дроби для второго интеграла почти готовы, только коэффициенты определить. ![$\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/2/92259bf1b69db68ca525721cbbdf17a382.png "$\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}} \]$")
сходится? В смысле главного значения да, конечно, но в обычном смысле нет
взять явно (неопределённый; а потом перейти к пределам, чтобы получить главное значение), а 
по вычетам, как в головном посте.
-окрестности всех особых точек, заменяют 
на 
, а потом устремляют 
и 
.
стремится :(. А это комплексное число. Или там оно сократится с чем-нибудь дальше? Или я предел неправильно считаю?![$\[\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx = } \int\limits_{ - R}^R {\frac{{d{x^3}}}{{{x^3} + 1}} = \ln ({R^3} + 1) - \ln ( - {R^3} + 1) = \ln (\frac{{{R^3} + 1}}{{ - {R^3} + 1}})} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f10bc36e19af91014ff347ca58c707382.png "$\[\int\limits_{ - R}^R {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx = } \int\limits_{ - R}^R {\frac{{d{x^3}}}{{{x^3} + 1}} = \ln ({R^3} + 1) - \ln ( - {R^3} + 1) = \ln (\frac{{{R^3} + 1}}{{ - {R^3} + 1}})} \]$")
![$\[\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/6/096d344a702c24f587a678c1978ddab682.png "$\[\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{ - 1 - \varepsilon }^{ - 1 + \varepsilon } {\frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + 1}}dx} \]$")
, который выкинули
, будто так и нужно было считать.