В целых числах

[Shadow]

Докажите, что уравнение

$$y^2=x^7+7$$

не имеет решений в целых числах

[maxal]

Оно не имеет решений уже по модулю 16. Ошибка в программе.

[nnosipov]

Это известная задача. Увы, соображения по модулю здесь не работают (по крайней мере, если модуль небольшой). Было бы интересно выяснить, при любом ли простом $p$ разрешимо сравнение $y^2 \equiv x^7+7 \pmod{p}$. Опыты с небольшими $p$ намекают на разрешимость.

(Здесь решение)

Решение основано на равенстве $11^2+7=2^7$, которое позволяет переписать уравнение в виде

$$ (x+2)f(x)=y^2+11^2, \quad f(x)=x^6-2x^5+4x^4-8x^3+16x^2-32x+64. $$

Поскольку $f(x) \equiv 3 \pmod{4}$ при нечётном $x$ (а $x$ обязано быть нечётным), число $f(x)$ имеет простой делитель $p \equiv 3 \pmod{4}$. Имеем $y^2+11^2 \equiv 0 \pmod{p}$, откуда $p=11$. Но, как можно проверить, $f(x) \not\equiv 0 \pmod{11}$ при любом $x$.

[Shadow]

(Оффтоп)

Решение, конечно, безупречное. Недолго продержалась задачка . Можно еще заметить, что $x \equiv 1 \pmod 4$, откуда $(x+2) \equiv 3\pmod 4$, и как следствие, $f(x) \equiv 3 \pmod 4$, тоесть, оба множителя должны делится на $11$ и проверить $f(x)$ только при $x\equiv -2 \pmod {11}$.

[nnosipov]

Вот похожая задача (М2084 из "Задачника Кванта"): решить уравнение

$$ \frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1 $$

в целых числах. Когда её впервые увидел, долго не мог понять, как такие штуки вообще можно решать. Разобравшись (вся фишка оказалась в круговых многочленах и их простых делителях), сконструировал вот такое уравнение:

$$ \frac{x^7-1}{x-1}=y^5-y^4-2y^2 + 1. $$

[rightways]

Вот более прикольно

$x^2=y^3+6$

$-$ не имеет решении в целых числах.

[scwec]

Здесь и рациональных решений нет.

[ph11]

$x=8k-3$ or $x=8k-1$

-- 20.01.2015, 18:37 --

$x^2=y^3 +6$
$x^2+2=y^3 +8$
For $x=8k-1$ , $y^2 -2y+4=8m-1$
For $x=8k+3$ , $y^2 -2y+4=8m-1$

[nnosipov]

rightways в сообщении #965670 писал(а):

Вот более прикольно

$x^2=y^3+6$

$-$ не имеет решении в целых числах.

Ну, это что-то совсем другое.

ph11 в сообщении #965688 писал(а):

$x=8k-3$ or $x=8k-1$

Нет, это здесь не поможет.

[rightways]

А я понял что имеет ввиду ph11 .Re: @nnosipov - Это помогает.

А как доказать что и в рациональных решении нет?

[ph11]

$y^2 -2y+4\equiv3^2 - 2\cdot3+4\equiv7(mod 8)$

[nnosipov]

Хм, действительно, а я, не дочитавши, подумал, что предлагается установить неразрешимость сравнения $x^2 \equiv y^3+6 \pmod{8}$. Оказывается, я не знал такого решения. (Я-то думал, что предполагается использовать факториальность кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$.)

[ph11]

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blur ... lleqn1.pdf

[nnosipov]

Я эту статью знаю, но прочитал её по диагонали, поэтому и не отложилось в голове.

[Deggial]

ph11, по правилам форума ссылки следует снабжать комментарием о том, что находится по ссылке