Доказать, что I_e - множество вида эф сигма

[Di]

Помогите пожалуйста дорешать задачу:

Пусть I_e – множество всех изолированных точек произвольного множества E.
Доказать, что I_e– множество типа эф сигма.

Решение
I_e – множество всех изолированных точек произвольного множества E.
Я доказала, что в $I_e – все точки изолированы к $I_e.
Пусть $(I_e)' – множество всех предельных точек к $I_e.
Получаем, что $I_e\cap $(I_e)'$пусто.
1). Пусть $(I_e)' пусто. Тогда $\overline{I_e}$=$I_e\cup $ (I_e)'$=$I_e. Значит $I_eзамкнуто.
2). Пусть $(I_e)' не пусто. Но $I_e\cap $(I_e)'$ пусто. Тогда опишем около каждой точки множества $(I_e)'открытый шар радиуса 1/n, где n – фиксированное. Обозначим это множество за S($x_0 , 1/n)
Рассмотрим объединение S($x_0 , 1/n)$ по всем $x_0 из$(I_e)'. Обозначим его за $A_n.
Пусть $B_n=$I_e/$A_n, $B_n\subset $I_e, следовательно
$B_n не содержит предельных точек множества $I_e

А как доказать, что $B_n замкнуто, т.е. содержит все свои предельные точки???
Заранее спасибо за помощь

[Someone]

Ie/An - это что? Разность $I_e\setminus A_n$? Используйте \TeX (введение, справка).

Судя по упоминанию шаров радиуса $\frac 1n$, дело происходит в метрическом пространстве?

Замкнутость $B_n$ следует из того, что $A_n$ открыто.

[Di]

спасибо, учту.
Да это разность,
да в метрическом простроанстве,
но ведь это свойство, что множество замкнуто, если его дополнение открыто действует, только при дополнении до всего пространства, а не до отдельного множества.

[Someone]

Di писал(а):

но ведь это свойство, что множество замкнуто, если его дополнение открыто действует, только при дополнении до всего пространства, а не до отдельного множества.

Если $F$ замкнуто, а $U$ открыто, то $F\setminus U$ замкнуто, а $U\setminus F$ открыто. Докажите.

[neo66]

Di писал(а):

Пусть I_e – множество всех изолированных точек произвольного множества E.
Доказать, что I_e– множество типа эф сигма.

А множество $E$ - воооще произвольное? И что такое множество типа эф сигма?

[Brukvalub]

neo66 писал(а):

И что такое множество типа эф сигма?

Так называют множества, представимые в виде объединения счетного семейства замкнутых множеств.

[AD]

Di писал(а):

Пусть $B_n=I_e\setminus A_n$,

Someone писал(а):

Замкнутость $B_n$ следует из того, что $A_n$ открыто.

Someone писал(а):

Если $F$ замкнуто, а $U$ открыто, то $F\setminus U$ замкнуто, а $U\setminus F$ открыто.

Чего-то у меня эти факты не стыкуются. Если $I_e$ замкнуто, то что же мы доказываем?

[neo66]

AD писал(а):

Чего-то у меня эти факты не стыкуются. Если $I_e$ замкнуто, то что же мы доказываем?

Множество изолированных точек метрического пространства не всегда замкнуто в нем. Зато оно всегда открыто. А любое открытое множество в метрическом пространстве является множеством типа $F_\sigma$. Доказательство можно посмотреть, например в книжке: Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию 1977

[AD]

neo66 писал(а):

Множество изолированных точек метрического пространства не всегда замкнуто в нем. Зато оно всегда открыто.

Чего-чего??? Это типа точки, не принадлежащие множеству, вы тоже изолированными называете?

Добавлено спустя 2 минуты 51 секунду:

P.S. умею доказывать для сепарабельного пространства :) - там такие множества просто всегда счётны.

[neo66]

AD писал(а):

Чего-чего??? Это типа точки, не принадлежащие множеству, вы тоже изолированными называете?

Ничего такого я не говорил. Я же дал точную ссылку.

[AD]

Ну как же ... вот возьмем одну точку {0} на прямой. Множество изолированных точек - это и есть {0}. Разве оно открыто?? В указанном случае гипотеза куда правдоподобнее.

Добавлено спустя 1 минуту:

Аааа, понял. Вы про изолированные точки самого пространства, а мы - про изолированные точки множества в нём, что не есть одно и то же.

[Di]

я что-то не до конца поняла, как же мне доказать, что множество $B_n$ замкнуто. Все решение верно, осталось доказать лишь это.

[AD]

Мы только что выкинули из $I_e$ все его предельные точки вместе с их 1/n-окрестностями, следовательно, $B_n$ не имеет предельных точек (если бы у него была предельная точка, то она была бы предельной и для $I_e$, и, следовательно, она попала бы в $A_n$, и тогда бы $B_n$ ее не содержало с некоторой окрестностью, противоречие). Похоже?

[Someone]

AD писал(а):

Чего-то у меня эти факты не стыкуются. Если $I_e$ замкнуто, то что же мы доказываем?

Замкнуто $\bar I_e=I_e\cup I'_e$, а $A_n$ открыто. По построению $I'_e\subseteq A_n$, поэтому $B_n=I_e\setminus A_n=\bar I_e\setminus A_n$ замкнуто.

[AD]

Да, так тоже, вроде, похоже :)