Кососимметричный тензор

[cool.phenon]

Здравствуйте, уважаемые физики. Я математик, поэтому прошу за ошибки сильно не бить. Хотел бы с Вами обсудить такой вопрос: существуют ли вообще в природе (хотя бы в теории) какие-либо процессы, которые описываются уравнениями вида

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{div}\left(A\nabla u+\nabla u\right), $$

где

$$A=\left[ \begin{matrix} {0} & {a(x)} & {0} \\ {-a(x)} & {0} & {-b(x)} \\ {0} & {b(x)} & {0} \\ \end{matrix} \right]? $$

Особенность процесса состоит в том, что тензор является кососимметричным. На данном этапе о свойствах коэффицентов тензора Природа такого процесса пока что не имеет значения. Есть математическая статья, в которой такое уравнение возникает в результате моделирования случайного процесса, но неизвестно, имеется ли у него физическое основание. С удовольствием выслушаю Ваши доводы.

[Munin]

cool.phenon в сообщении #962877 писал(а):

где

$$\left[ \begin{matrix} {0} & {a(x)} & {0} \\ {-a(x)} & {0} & {-b(x)} \\ {0} & {b(x)} & {0} \\ \end{matrix} \right]? $$

Вы забыли написать, что этому равно.

И в физике не бывает просто таких вот тензоров. Бывают тензоры общего вида, которые не привязаны к системе координат.

-- 16.01.2015 01:02:04 --

cool.phenon в сообщении #962877 писал(а):

Есть математическая статья, в которой такое уравнение возникает в результате моделирования случайного процесса, но неизвестно, имеется ли у него физическое основание.

Тут что-то непонятное. Физическое основание может быть у уравнения, если оно получено из описания какой-то известной физической системы или явления. А если вы высосали математику из пальца (в смысле, не из физики), то говорят не о физическом основании, а о физическом приложении - которых может быть несколько, или может быть ни одного.

[cool.phenon]

Munin
Теперь исправил.

Я имел в виду, возможно кому-либо из физиков встречалась какая-то система или процесс, в результате исследования которого возникает такого рода конструкция. Дело в том, что я затрудняюсь сказать, как возникло это уравнение, если из физики, то людям должно быть известно что-то о нём, а если не из физики, тогда любые вопросы по уравнению будут обращены к математикам.

[Touol]

Странное ур-ние.
$\frac{\partial u}{\partial t}=\operatorname{div}\left(\nabla u\right)=\Delta u $ похоже на ур-ние теплопроводности.
http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4034.html
А тензор откуда остается только догадываться.

[Red_Herring]

Ну, давайте разбираться на что же на самом деле похоже эта система. Приведя $A(x)$ к диагональному виду мы видим, что "в главном" она распадается на $u_t= \nabla \cdot (1\pm i\rho)\nabla $ (т.е. помесь теплопроводности и Шрёдингера) и обычное уравнение теплопроводности; это параболическая система (благодаря наличию $1$) и $L^2$ норма решения убывает и решение гладкое (если $\alpha,\beta$ гладкие) при $t>0$). Задача Коши разрешима лишь в сторону возрастания $t$.

[v_n]

Пуст $b_i=e_{ikl}A^{kl}$ - вектор связанный с антисимметричным тензором. Тогда легко получить $u_t=(v\nabla )u + \Delta u$, где $v=\operatorname{rot}b$. Это просто уравнение теплопроводности или диффузии в заданном поле скоростей.

[Red_Herring]

v_n
Лихо Вы из оператора второго порядка оператор первого получили. Если б это ещё правильно было.

Но это зависит от того, что ТС имел в виду. Мне казалось, что поскольку там матрица $A(x)$ то $u$ это вектор-столбец, и $\nabla u= \nabla \otimes u$ покомпонентно, и $\nabla\cdot (A\nabla u)$ тоже. Но если $u$ скаляр, то $A\nabla u$ рассматривается как вектор и Ваши вычисления правильны.

[v_n]

Red_Herring
Видимо, мы по-разному понимаем запись исходного уравнения. Я считаю, что член с тензором выглядит так $\partial_i A^{ik}\partial_{k}u=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^i}\partial_{k}u +A^{ik}\partial_i\partial_{k}u$. И тогда я действительно из оператора второго порядка лихо получаю оператор первого порядка. Или Вы сомневаетесь, что $A^{ik}\partial_i\partial_{k}u=0$ ?

[Red_Herring]

v_n
Я отметил, что если Ваша интерпретация правильна, то и Ваши вычисления правильны. А сказать, что означала исходная запись может только сам ТС.

[cool.phenon]

Здесь $u$ -- скалярная функция, для точности.

[Red_Herring]

cool.phenon в сообщении #963088 писал(а):

Здесь $u$ -- скалярная функция, для точности.

Тогда правильны и интерпретация и вычисления v_n

[amon]

А ничего, что $A$ вырожденный?

[Red_Herring]

amon в сообщении #963178 писал(а):

А ничего, что $A$ вырожденный?

Никаких проблем. Он ведь в главную часть вклада не дает, да и если бы и давал (в моей интерпретации), так $I+A$ невырожденный