Тригонометрия

[arseniiv]

Хм, что-то не припомню в той одной CAS упомянутые issues с кванторами, конкретно с Арктангенсом.

-- Сб янв 03, 2015 01:17:53 --

Если уж так надо точности в работе с многозначными функциями, остаётся писать только

$$\forall\alpha\in\mathbb R\mathrel. \operatorname{Arctg}(\tg\alpha) = \{\alpha + \pi n : n\in\mathbb Z\}$$

либо

$$\forall\alpha\in\mathbb R\mathrel. \forall n\in\mathbb Z\mathrel. \operatorname{Arctg}(\tg\alpha) \ni \alpha + \pi n$$

(но это утверждение слабее и явно не имелось в виду).

По таким записям сразу видно, что было не так с квантором по $n$ — это и не квантор вовсе! (Если записать всё без синтаксического сахара $\{\}$, получится третья формула, тоже непохожая на исходную, потому что $\{f(a) : a\in A\} = \{t : \exists a\in A\mathrel. t = f(a)\}$.)

-- Сб янв 03, 2015 01:19:18 --

Как можно отсюда видеть, в той формуле будет квантор $\exists n\in\mathbb Z$, и никак не $\forall$.

[Qazed]

Спасибо

[Qazed]

Здравствуйте, в продолжение темы:
Вопрос 4.
Верно ли равенство?

$$ \forall \alpha \in \mathbb R \colon \operatorname{Arccos} ( \cos \alpha ) = \{ \pm \alpha + 2 \pi n \colon n \in \mathbb Z \} $$

Вопрос 5.
Верно ли определение?

$$\alpha := \arcctg a \iff \begin{cases} \alpha \in (0; \pi) \\ \ctg \alpha = a \end{cases} $$

[arseniiv]

Должны быть. Только определение, хоть и правильно как формула, «размечено» двоеточием неправильно — уж либо это должно быть $\arcctg a := \text{терм}$, либо $\text{формула}_1 :\Leftrightarrow \text{формула}_2$. А вообще определение, конечно, может и не содержать $\Leftrightarrow$*, но тогда двоеточечная запись не получится.

* Если доказуема формула $\exists!y\mathrel.A$ со свободными переменными $x_1,\ldots,x_n$, то можно ввести новый $n$-местный функциональный символ $f$ и аксиому-определение $A[f(x_1,\ldots,x_n)/y]$ (игрек заменяется в $A$ на указанный терм). Например, мы можем ввести двуместную операцию вычитания куда-то, где уже есть коммутативное обратимое сложение. Доказав, что $\exists!z\mathrel.x + z = y$, можем определить вычитание аксиомой $x + (y - x) = y$; это будет вполне нормально, но двоеточие по смыслу поставить некуда.

Если что, не помню, видели ли вы уже это…

[Qazed]

arseniiv, спасибо. Я, пожалуй, буду использовать " $:\Leftrightarrow$ "