2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:07 
Аватара пользователя
Здравствуйте, есть/будут несколько вопросов по тригонометрия, прошу Вашей помощи, чтоб в них разобраться.
Вопрос 1.
Каким квантором связано $n$ в определениях функций $\mathrm{Arcsin} \, x$ и $\mathrm{Arccos} \, x$?
$$ \forall x \in [-1; 1] \quad \forall n \in \mathbb Z \colon \mathrm{Arccos} \, x := \pm \arccos x + 2 \pi n $$
$$ \forall x \in [-1; 1] \quad \exists n \in \mathbb Z \colon \mathrm{Arccos} \, x := \pm \arccos x + 2 \pi n $$

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:27 
Аватара пользователя
Там $\pm$ пропущен.
Но если его вписывать, тоже потребуется указать, как выбрать знак.

А вообще запись не очень корректная. $\operatorname{Arccos} x$ это так называемая многозначная функция, "Значением" которой является не конкретное число, а все множество. Впрочем, этот момент можно трактовать и по-другому.

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:30 
Аватара пользователя
Спасибо, поправил. А как указать какой знак?

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:33 
Аватара пользователя
Так может быть любой. То есть или-или. Каким знаком "или" обозначается?
А насчет первого вопроса про квантор: ну уж, сами сообразите. Раз вы такой специалист по формализации :D

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:35 
Аватара пользователя
Разве знак $\pm$ не трактуется как "$+$ или $-$"?

-- 12.12.2014, 23:36 --

provincialka в сообщении #945191 писал(а):
Раз вы такой специалист по формализации :D

Каждый сходит с ума по-своему

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 22:59 
Аватара пользователя
Да, трактуется. Так что, прямо так и пишем: $\pm$. Никаких проблем ;-) Если очень хочется, можно написать два выражения, а между ними значок $\lor$.

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение12.12.2014, 23:04 
Аватара пользователя
Aritaborian, благодарю Вас

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение13.12.2014, 01:00 
Аватара пользователя
Там кажется должно быть $\pi n$ вместо $2\pi n$, если все же, например, $\left(0,\frac{3\pi}{2}\right)\in\operatorname{Arccos}.$ Определите $\operatorname{Arccos}$ как отношение.

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 10:16 
Аватара пользователя
Здравствуйте, в продолжение темы:
Вопрос 2.
В литературе по элементарной математике встречаются два варианта записи формул по тригонометрии: с допустимыми значениями (1) и без (2), например,
$$ 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \qquad \left( \forall \alpha, \beta \in \mathbb R, \quad \alpha, \beta \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z \right), \quad (1) $$
$$ 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}. \quad (2) $$
Могут ли при преобразованиях возникнуть случаи, когда эти области определения могут пригодится? Могу ли я быть уверен, что бесплатно используя формулы из учебника, я в итоге не получу новых корней или потеряю старые? Надеюсь, что я правильно выразился.

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 10:39 
Аватара пользователя
В этом случае области определения правой и левой части совпадают, так что применение этой формулы именно в таком виде не приведёт к изменению множества корней. Вот если формулу переписать как $(1 + \tg \alpha \tg \beta) \cdot \cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha-\beta)$, то необходимо тащить с собой область определения левой части, иначе могут появиться постронние корни. А при применении справа налево — пропасть :-(

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 11:15 
Аватара пользователя
Спасибо, т. е. в общем случае:
$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb R \colon 1 + \tg \alpha \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta},$$
ведь можно сказать, что неопределённость = неопределённость?

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 11:32 
Аватара пользователя
Слово "неопределенность" здесь не совсем подходит. Это термин и он имеет определенное значение. Но в общем я с вами согласна: если левая и правая часть имеют одинаковые области определения и равны там, где обе существуют, то это тождество. Но другие люди могут иметь свое мнение по этому поводу.

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 11:44 
Аватара пользователя
Я говорил лишь про совершенно школьные правила применения преобразований выражений. Вы, похоже, строите некую формализованную теорию. Но слово "неопределённость" имеет определённый смысл. А Вы, мне кажется, употребляете его в таком смысле: "две функции называются равными, если у них совпадают области определения и в каждой их точке значения функций равны." Можно сказать так, что если в некотором тождестве не указана область его применения, то по умолчанию она равна пересечению областей опредделения всех функций (в тч сложных), входящих в выражение. В своей теории Вы можете по разному определять равенство в точке, но по Вашему в нуле $1/x=1/x^2$, что как то не выглядит.

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 11:49 
Аватара пользователя
gris в сообщении #955057 писал(а):
но по Вашему в нуле $1/x=1/x^2$, что как то не выглядит.
Почему? Вполне нормально. На нет и суда нет.
Другое дело, когда области определения левой и правой частей не совпадают. Тогда тождество, записанное "для всех $x,y$" может стать источником ошибок. У меня так случилось и я даже написала статейку для школьников об этом. В "Математика в школе".

 
 
 
 Re: Тригонометрия
Сообщение01.01.2015, 12:00 
Аватара пользователя
provincialka, согласен :D

(Оффтоп)

Как хорошо с утра на кухне.
Все спят, салаты и вино
остались, хоть и некрасивы,
но вкусны. Можно в форум
сходить, не опасаясь криков,
что Модный приговор
начался, у дитя уроки,
собака просится и вообще.

 
 
 [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group