Функция Грина

[studentmk_32]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться.
Пусть есть $G(t) = \langle 0| T [q(t)q(0)] |0\rangle$. Надо проверить, что $m(\frac{d^2}{dt^2} + \omega^2)G(t) = A\delta(t)$ и найти константу $A$.

Я расписал $G(t)= \Theta(t)\langle 0|q(t)q(0)|0\rangle + \Theta(-t)\langle 0|q(0)q(t)|0\rangle$ и взял первую производную по времени: $\frac{d}{dt} G(t) = \delta(t)\langle 0|q(t)q(0) - q(0)q(t)|0\rangle + \Theta(t)\langle 0|\frac{p(t)}{m}q(0)|0\rangle + \Theta(-t)\langle 0|q(0)\frac{p(t)}{m}|0\rangle$.

И вот тут у меня есть подозрение, что первый член должен занулиться. Но я не могу доказать, почему так. Помогите, пожалуйста.

UPD
Может ли это быть, потому что дельта-функция отлична от нуля только если $t = 0$? В этом случае коммутатор равен нулю. Но ноль на бесконечность...

[Cos(x-pi/2)]

studentmk_32 в сообщении #962121 писал(а):

Пусть есть $G(t) = \langle 0| T [q(t)q(0)] |0\rangle$. Надо проверить, что $m(\frac{d^2}{dt^2} + \omega^2)G(t) = A\delta(t)$ и найти константу $A$.

Наверное здесь речь идёт о гармоническом осцилляторе. Тогда следует выразить операторы координаты в гейзенберговском представлении $q(t)$ через операторы рождения и уничтожения в гейзенберговском представлении

$a^+(t)= e^{i \omega t}a^+$
$a(t)=e^{-i \omega t}a$

Тогда легко вычисляются (отдельно для $t>0$ и $t<0$) средние по основному состоянию $\langle 0 |...|0\rangle,$ имеющиеся в функции $G(t).$ А дальше запишите результат с помощью ступенчатых функций, аналогично тому, как Вы это делали, и берите производные. В первой производной да, дельта-функции сократятся, т.к. они войдут с противоположными знаками и будут умножены на экспоненты, обращающиеся в единицу при $t=0$. А во второй производной знаки при дельта-функциях будут одинаковы; в итоге всё найдёте, что требуется в этой задачке.

[warlock66613]

studentmk_32 в сообщении #962121 писал(а):

Может ли это быть, потому что дельта-функция отлична от нуля только если $t = 0$? В этом случае коммутатор равен нулю. Но ноль на бесконечность...

Никаких ноль на бесконечность. Дельта-функция определена в смысле обобщённых функций. Тогда если $f(x)$ - это регулярная функция, то их произведение $\delta(x)f(x)$ также определено в смысле обобщённых функций, т. е. как функционал на пространстве основных функций. Подействуем этим функционалом на произвольную основную функцию $g(x)$, имея в виду, что $f(0)=0$ (интересующий нас случай):

$$(\delta(x)f(x), g(x)) = (\delta(x),f(x)g(x)) = f(0)g(0)=0.$$

Поскольку это верно для любой $g(x)$, получаем, что $\delta(x)f(x) \equiv 0$.

[Red_Herring]

warlock66613 прав. В мире обобщенных функций надо следовать определению, а не не столь здравому смыслу. Пример: $x\delta'(x)=$?

[Cos(x-pi/2)]

Red_Herring в сообщении #962329 писал(а):

Пример: $x\delta'(x)=$?

В таких примерах не силён, но осмелюсь предположить, что если верно такое определение производной дельта-функции

$(\delta'(x), g(x))=-(\delta(x), g'(x))$ ,

то можно написать равенство

$x\delta'(x)= -\delta(x)-x \delta(x) \frac{d}{dx}$ ,

и последний член с оператором дифференцирования можно вычеркнуть из-за наличия множителя $x$ при дельта-функции; тогда:

$x\delta'(x)= -\delta(x)$

А на самом деле какой ответ?

[Red_Herring]

Cos(x-pi/2) в сообщении #962343 писал(а):

$x\delta'(x)= -\delta(x)$

[amon]

studentmk_32 в сообщении #962121 писал(а):

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться.
Пусть есть $G(t) = \langle 0| T [q(t)q(0)] |0\rangle$. Надо проверить, что $m(\frac{d^2}{dt^2} + \omega^2)G(t) = A\delta(t)$ и найти константу $A$.

Все что-то решать бросились, а я ничего не понимаю. $|0\rangle$ это кто? Основное состояние? И вообще, к черту подробности, наука-то какая? Точно не квантовая механика, поскольку там такого $m(\frac{d^2}{dt^2} + \omega^2)G(t) = A\delta(t)$ точно нет.

[Cos(x-pi/2)]

Red_Herring, спасибо за такой приятный ответ (но аплодисменты возвращаю Вам и warlock66613)

[Red_Herring]

Из той же оперы: тут в одной из тем возник вопрос: решить уравнение (в обобщенных функциях) $\sin(x) f(x)=0$.

[Cos(x-pi/2)]

amon
Это квантовая механика одномерного гармонического осциллятора, с массой $m$ и собственной частотой $\omega$. Речь идёт о среднем по основному состоянию от хронологического произведения гейзенберговсих операторов координаты. У меня ответ получился такой: $A=-i\hbar$

-- 15.01.2015, 01:39 --

Red_Herring
Из предыдущих примеров видно, что подходит $f(x)=\delta(x).$ И вообще подходит даже $f(x)=g(x)\delta(x),$ где $g(x)$ - произвольная "хорошая" функция, ограниченная при $x=0.$

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #962354 писал(а):

то квантовая механика одномерного гармонического осциллятора, с массой $m$ и собственной частотой $\omega$

Не катит. Вы на уравнение и функцию посмотрите.

[Red_Herring]

Cos(x-pi/2) в сообщении #962354 писал(а):

что подходит $f(x)=\delta(x).$

Не только

[Cos(x-pi/2)]

Да, я с опозданием это понял; исправил выше свой пост...

[Red_Herring]

Cos(x-pi/2) в сообщении #962362 писал(а):

Да, я с опозданием это понял; исправил выше свой пост...

No cigar this time too. Ваш ответ по существу (причем $g(x)$ должна быть непрерывной) $c\delta(x)$.

(spoiler)

Но ведь $x=0$ не единственное решение $\sin(x)=0$

[amon]

Red_Herring в сообщении #962351 писал(а):

решить уравнение (в обобщенных функциях) $\sin(x) f(x)=0$.

Что бы народ от дела не отвлекать ;) $f=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_n\delta(x-\pi n)$

А с задачей у ТС беда какая-то.