Уравнение Мещерского

[fronnya]

Попытаюсь вывести, где- то ошибка в рассуждениях. Пусть тело массой $m$ движется в безвоздушном пространстве со скоростью $\vec{V}$. Импульс тела в момент времени $t$ есть величина $\vec{P}(t)=m\vec{V}$. Тело начинает терять массу, через время $dt$ импульс его стал равен $\vec{P}(t+dt)=(m-dm)(\vec{V}+d\vec{V})-\vec{u}dm$ Под $dm$ я понимаю абсолютное изменение массы тела. Найдем теперь приращение импульса $d\vec{P}=(m-dm)(\vec{V}+d\vec{V})-\vec{u}dm-m\vec{V}$, раскрывая скобки и пренебрегая малыми слагаемыми, получаю: $d\vec{P}=md\vec{V}-(\vec{u}+\vec{V})dm-m\vec{V}$. По определению $d\vec{P}=\vec{F} dt$, $\vec{F}$- некоторая внешняя сила.
Тогда, окончательно:

$$m\frac{d\vec{V}}{dt}=\vec{F}+(\vec{u}+\vec{V})\frac{dm}{dt}$$

Что не так?

[Ms-dos4]

Так. Во первых, вы вектора пока ещё никуда не проецируете, а минусы уже полезли. Во вторых, в вашей системе отсчёта скорость (назовём это газов ракеты, например) есть $\[\vec V + \vec u\]$. Т.е. у вас изменение импульса системы есть $\[(m - dm)(\vec V + d\vec V) + (\vec V + \vec u)dm - m\vec V\]$

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #961700 писал(а):

Т.е. у вас изменение импульса системы есть $\[(m - dm)(\vec V + d\vec V) + (\vec V + \vec u)dm - m\vec V\]$

Ааа, это я забыл написать просто, но окончательный ответ написан, с учетом этого.

[Ms-dos4]

fronnya
Ну ка выкладки покажите подробнее, где то что-то не сократили

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #961700 писал(а):

Так. Во первых, вы вектора пока ещё никуда не проецируете, а минусы уже полезли.

Ну а с какого перепугу должен быть плюс, если масса $dm$ улетает? А почему должен быть плюс, если $\vec{u}$ противонаправлен скорости тела? Или тут плюсик надо в общем случае?

-- 14.01.2015, 00:19 --

Хорошо, начну с приращения импульса прям сразу

$$d\vec{P}=m\vec{V}+md\vec{V}-\vec{V}dm-dmd\vec{V}-\vec{u}dm-m\vec{V}=md\vec{V}-dm(\vec{u}+\vec{V})$$

[Ms-dos4]

fronnya
Ну дык всё же "зашито" в компонентах вектора, которые будет отрицательные. Вот когда вы систему координат введёте, и будете выписывать проекции, тогда да, будет минус.
И получится у вас для приращения $\[m\vec V + md\vec V - \vec Vdm - dmd\vec V + \vec Vdm + \vec udm - m\vec V = \vec Fdt\]$

[fronnya]

$d\vec{P}=(m-dm)(\vec{V}+d\vec{V})+\vec{u}dm-m\vec{V}$ Так должно быть?

-- 14.01.2015, 00:23 --

А почему нельзя сразу принять $dm<0$ и сразу написать $(m-dm)$?

[Ms-dos4]

fronnya
Нет, не так. Я ж вам выше написал. Тут знак уже верный, а то, что скорость газов относительно вашей неподвижной системы есть $\[\vec V + \vec u\]$ вы забыли.
Так с $\[dm\]$ и я минус поставил. Про него я вам и не заикался.

[Nemiroff]

Ms-dos4 в сообщении #961713 писал(а):

Нет, не так. Я ж вам выше написал.

Зависит от того, что такое $u$. Может, и правильно.

[fronnya]

У Сивухина и перед $dm$ стоит плюс.

[Ms-dos4]

Nemiroff
$\[{\vec u}\]$ - скорость истечения газов из ракеты. Выбрана неподвижная система отсчёта. Газы получили дополнительную скорость $\[{\vec u}\]$ (в дополнение к самой скорости ракеты), вот и их импульс в момент времени $\[t + dt\]$ есть $\[(\vec V + \vec u)dm\]$

-- Ср янв 14, 2015 01:30:13 --

fronnya
Ну так тоже можно, важно лишь что бы вы помнили об этом, и потом учли, масса добавляется или уходит от системы.

[fronnya]

Я все поправил, теперь получилось так:

$$m\frac{d\vec{V}}{dt}=\vec{F}-(\vec{u}-\vec{V})\frac{dm}{dt}$$

Верно?

[Ms-dos4]

fronnya
Нет. Надоело, я щас сам напишу

$\[(m - dm)(\vec V + d\vec V) + (\vec V + \vec u)dm - m\vec V = \vec Fdt\]$

$\[m\vec V + md\vec V - \vec Vdm - dmd\vec V + \vec Vdm + \vec udm - m\vec V = \vec Fdt\]$

$\[md\vec V + \vec udm = \vec Fdt\]$

$\[m\frac{{d\vec V}}{{dt}} = \vec F - \vec u\frac{{dm}}{{dt}}\]$

[Nemiroff]

Ms-dos4 в сообщении #961722 писал(а):

$\[m\frac{{d\vec V}}{{dt}} = \vec F - \vec u\frac{{dm}}{{dt}}\]$

Ms-dos4 в сообщении #961717 писал(а):

Nemiroff $\[{\vec u}\]$ - скорость истечения газов из ракеты.

Это вы написали, а не ТС. А что он имеет в виду, я не знаю.

Ms-dos4 в сообщении #961722 писал(а):

$\[m\frac{{d\vec V}}{{dt}} = \vec F - \vec u\frac{{dm}}{{dt}}\]$

Ну вот у вас из-за $(m-dm)$ теперь знак нестандартный.

[fronnya]

Ms-dos4 , странно, у Сивухина вместо $\vec{u}$- относительная скорость, равная $\vec{u}-\vec{V}$