Метрика и мощности множеств

[Someone]

provincialka права.

Bacon в сообщении #960790 писал(а):

Я понимаю задачу так: существует ли на плоскости…

Это означает, что имеется в виду метрическое пространство, именуемое "плоскостью", и метрика на нём стандартная для плоскости (или, в крайнем случае, эквивалентная ей). Поэтому бросайте выдумывать новые метрики и пользуйтесь стандартной.

Bacon в сообщении #960758 писал(а):

Может ли счетное множество на плоскости иметь континуум предельных точек, ни одна из которых не принадлежит этому счетному множеству?

Видимо, подразумевается, что ни одна предельная точка не принадлежит искомому счётному множеству. Без этого условия задача банальная, да и с этим-то условием не слишком хитрая. Искомое множество можно построить и на плоскости, и на прямой.

[Bacon]

Someone
provincialka
Вы хотите сказать, что нужно построить счетное множество, у которого ни одна предельная точка не принадлежит этому множеству ? А как же тогда то, что этих точек должно быть континуум? Тогда можно просто взять точки с целыми координатами и все. У него вообще нет предельных точек.
А вот насчет "жен", ведь не сказано только 5 знакомых, поэтому второй вывод не доходит до меня.

[Nemiroff]

Bacon в сообщении #960812 писал(а):

Вы хотите сказать, что нужно построить счетное множество, у которого ни одна предельная точка не принадлежит этому множеству ?

Это вы хотите.

Bacon в сообщении #960812 писал(а):

Тогда можно просто взять точки с целыми координатами и все. У него вообще нет предельных точек.

И что? Зачем это?

[Someone]

Bacon в сообщении #960812 писал(а):

Вы хотите сказать, что нужно построить счетное множество, у которого ни одна предельная точка не принадлежит этому множеству ?

Почему бы и нет?

Bacon в сообщении #960812 писал(а):

Тогда можно просто взять точки с целыми координатами и все. У него вообще нет предельных точек.

А по условию их должно быть очень много — континуум.

Bacon в сообщении #960812 писал(а):

А как же тогда то, что этих точек должно быть континуум?

Одно другому не мешает.

Разместите точки счётного множества так, чтобы они друг к другу не накапливались. Куда-нибудь в сторону их направьте.

Задача очень простая, много подсказывать — это то же самое, что просто написать решение.

[Lia]

Bacon
Не берите людей измором. Снесу в Карантин до вызревания того, что в действительности можно будет назвать попытками решения. Не надо пытаться решать задачу онлайн.

[patzer2097]

да уж

[Bacon]

Lia
Да уж, виноват, запутался я в формулировках, слишком активно выпрашивал что да как.
Решение простое на самом деле: взять любой интервал прямой открытый, все его рациональные точки, а предельные к ним - иррациональные. получится что все условия задания выполнены.

[Nemiroff]

Bacon в сообщении #960790 писал(а):

Я понимаю задачу так: существует ли на плоскости счетное множество, у которой континуум предельных точек, таких что ни одна из них не принадлежит этому счетному множеству.

Bacon в сообщении #961643 писал(а):

взять любой интервал прямой открытый, все его рациональные точки, а предельные к ним - иррациональные

А рациональные точки предельными являться не будут, по-вашему?

[Bacon]

Nemiroff
Ну почему же, будут, в условии же не сказано, что других предельных нет, а если не сказано, то зачем усложнять себе жизнь.

[Nemiroff]

А своё "понимание" вы решили запихнуть поглубже. Как и всю эту тему, в которой вам и намекнуть пытались, и что только ни делали.
Класс.

ewert в сообщении #960772 писал(а):

Bacon, Вы когда-нибудь слышали про рациональные и иррациональные числа?...

Чукча не читатель.

[Legioner93]

На плоскости-то банально - там "места" явно достаточно. А вот можно ли на прямой (сразу уж на интервале $(0, 1)$)? Немного подумал и родил вот такую конструкцию. Буду рад, если кто-нибудь посмотрит. Нет ли ошибки?

Сначала пробуем первое, что придёт в голову (даже рациональных чисел знать не надо): $A=\{\frac{1}{2}\}\bigcup\{\frac{1}{4},\frac{3}{4}\}\bigcup\{\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8}\}\bigcup \ldots$
Множество плотно на $(0,1)$, счётное, но нарушилось третье условие - нужно, чтобы $A' \bigcap A = \emptyset$ (если верить википедии, штрихом обозначается множество предельных точек)

Исправляемся:
Пусть на $n$-ом шаге добавляется $2^{n-1}$ точек вида $\frac{k}{2^n}$, $k \in \{\overline{1, 2^n-1}\}, k\not{\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}}\ 2$ (те же самые точки, что и раньше), НО теперь каждую из них окружим "защитной сферой" - симметричным замкнутым интервалом шириной $\frac{1}{4^n}$
Правила взаимодействия со сферой: никакая другая точка не может быть поставлена в защитную сферу. Если на очередном шаге точка $\frac{k}{2^n}$ попадает в сферу, то эта точка просто не ставится. Даже если на очередном шаге ни одна вообще точка не будет поставлена - ничего страшного.
Пусть $A$ - множество, которое получается в результате такой операции.

Утверждения:
1) Суммарная мера всех сфер не превосходит $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{2^{n-1}}{4^n} =\frac{1}{2}$, а на самом деле ещё меньше, т.к. некоторые сферы не будут поставлены вовсе или будут поставлены лишь "куском".
2) Тогда получаем как минимум половину точек $(0,1)$, которые не попадут ни в одну сферу. То есть таких точек - континуум. Назовём множество точек, не пересекшихся ни с одной сферой, множеством $S$
3) $S \bigcap A = \emptyset$, поскольку каждая точка $A$ попадает в свою сферу
4) $A$ - всё же счётное, а не конечное. Следует также из пункта 2 (от противного).
5) В любой открытой окрестности любой точки из $S$ есть точка из $A$. Доказательство от противного также. Здесь как раз должна помочь замкнутость защитных сфер.
6) Значит $S = A'$, то есть множество всех предельных точек - континуально.

[grizzly]

(Legioner93)

1. Идея в целом верна.
2. п.4) выводить из п.2) не очень-то оптимально, даже сомнительно.
3. В п.5) замкнутость защитных сфер непринципиальна.
4. А не проще было вспомнить про канторово множество с центрами удаляемых интервалов? :)
5. Прячу в оффтоп, а то рискуем пострадать за перехват темы, раз уж не за полное решение задачи ТС. Если хотите обсуждать, выносите в новую тему.

[Legioner93]

(Оффтоп)

grizzly
ТС уже забил на эту задачу...

grizzly в сообщении #962356 писал(а):

В п.5) замкнутость защитных сфер непринципиальна.

Да, я знаю! Но с замкнутыми сферами надо думать чуть-чуть меньше

grizzly в сообщении #962356 писал(а):

п.4) выводить из п.2) не очень-то оптимально, даже сомнительно.

Опечатка, имелся в виду вывод из пункта 1.

grizzly в сообщении #962356 писал(а):

4. А не проще было вспомнить про канторово множество с центрами удаляемых интервалов? :)

Наверное гораздо проще, если слушал соответствующий (хотя бы смежный) курс в универе и владеешь соответствующей культурой доказательств.
Спасибо, что посмотрели!

[Bacon]

Nemiroff
Извините, что потратил ваше время и других участников напрасно. Чукча настолько дикий, что думал что раз иррациональных континуум, то они "плотней" лежат, и найдется окрестность без рациональных. Очень дикий чукча.