Как понять такой интеграл от дифференциальной формы?

[AD]

По моим постам легко вычислить, как движется сессия

В книжке без пояснений встретилось такое выражение:

Мищенко или Фоменко писал(а):

$$D(\omega)=\int_0^1\Omega_{2,M_1}(t)\,dt$$

где $D:\boldsymbol\Omega_k(M_2)\to\boldsymbol\Omega_{k-1}(M_1)$ - линейное отображение пространств внешних дифференциальных форм на $n$-мерных многообразиях $M_1$ и $M_2$, а семейство форм $\Omega_{2,M_1}(t)$ появляется таким образом: если $\omega\in\boldsymbol\Omega_k(M_2)$, то $\Omega=F^*(\omega)$, где $F:M_1\times [0,1]\to M_2$ - некая фиксированная гладкая гомотопия, потом $\Omega_2$ выскакивает из представления $\Omega=\Omega_1+\Omega_2\wedge dt$, где обе не зависят от $dt$, и, наконец, $\Omega_{2,M_1}(t)=f_t^*(\Omega_2)$, где $f_t(x)=F(x,t)$.

Эээ ... всё понятно, да?
Так вот, в каком смысле там понимается вот этот интеграл-то?
Типа мы интегрируем по $t$ от 0 до 1, а потом саму форму - "как обычно"? А как у нас тогда интегрируется форма не обязательно максимального ранга?

[Brukvalub]

AD писал(а):

Типа мы интегрируем по $t$ от 0 до 1, а потом саму форму - "как обычно"?

Мне кажется, что происходит только одно интегрирование - по t, и его результатом снова является дифференциальная форма.

[AD]

А почему тогда ранг уменьшился? Был k, стал k-1.

[Brukvalub]

AD писал(а):

потом $\Omega_2$ выскакивает из представления $\Omega=\Omega_1+\Omega_2\wedge dt$

- вот и видно, что, чтобы ранг у слагаемых был один и тот же (ведь в градуированной алгебре складывать можно только слагаемые одного "градуса" ), у формы $\Omega_2$ ранг должен быть на 1 меньше, чем у исходной формы $\Omega$.

[AD]

Щаааас ... у нас ведь $\Omega$ на очень большом многообразии задана, на $M_1\times[0,1]$, то есть после применения $F^*$ она осталась ранга $k$, хотя и стала зависеть от $t$, так что-ли? А потом $t$ отделили, и ранг уменьшился?

[Brukvalub]

AD писал(а):

А потом $t$ отделили, и ранг уменьшился?

Мне кажется, что делается именно так.

[AD]

Вроде понятно ... То есть интеграл понимается так:

$$\int_0^1 h_{i_1,\ldots,i_l}(x^1,\ldots,x^n,t)\ dx^{i_1}\wedge\,\ldots\,\wedge\,dx^{i_l}\ dt=\left(\int_0^1h_{i_1,\ldots,i_l}(x^1,\ldots,x^n,t)dt\right)\,dx^{i_1}\wedge\,\ldots\,\wedge \,dx^{i_l}$$

?

[Brukvalub]

Думаю - да, как и обычный интеграл по параметру от параметрического семейства.

[AD]

Спасибо, вроде, въезжаю ...