2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как понять такой интеграл от дифференциальной формы?
Сообщение17.01.2008, 10:44 
По моим постам легко вычислить, как движется сессия :D

В книжке без пояснений встретилось такое выражение:

$$D(\omega)=\int_0^1\Omega_{2,M_1}(t)\,dt$$

где $D:\boldsymbol\Omega_k(M_2)\to\boldsymbol\Omega_{k-1}(M_1)$ - линейное отображение пространств внешних дифференциальных форм на $n$-мерных многообразиях $M_1$ и $M_2$, а семейство форм $\Omega_{2,M_1}(t)$ появляется таким образом: если $\omega\in\boldsymbol\Omega_k(M_2)$, то $\Omega=F^*(\omega)$, где $F:M_1\times [0,1]\to M_2$ - некая фиксированная гладкая гомотопия, потом $\Omega_2$ выскакивает из представления $\Omega=\Omega_1+\Omega_2\wedge dt$, где обе не зависят от $dt$, и, наконец, $\Omega_{2,M_1}(t)=f_t^*(\Omega_2)$, где $f_t(x)=F(x,t)$.

Эээ ... всё понятно, да?
Так вот, в каком смысле там понимается вот этот интеграл-то?
Типа мы интегрируем по $t$ от 0 до 1, а потом саму форму - "как обычно"? А как у нас тогда интегрируется форма не обязательно максимального ранга?

 
 
 
 
Сообщение17.01.2008, 11:09 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Типа мы интегрируем по $t$ от 0 до 1, а потом саму форму - "как обычно"?
Мне кажется, что происходит только одно интегрирование - по t, и его результатом снова является дифференциальная форма.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2008, 11:10 
А почему тогда ранг уменьшился? Был k, стал k-1.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2008, 11:17 
Аватара пользователя
AD писал(а):
потом $\Omega_2$ выскакивает из представления $\Omega=\Omega_1+\Omega_2\wedge dt$
- вот и видно, что, чтобы ранг у слагаемых был один и тот же (ведь в градуированной алгебре складывать можно только слагаемые одного "градуса" :D ), у формы $\Omega_2$ ранг должен быть на 1 меньше, чем у исходной формы $\Omega$.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2008, 11:23 
Щаааас ... у нас ведь $\Omega$ на очень большом многообразии задана, на $M_1\times[0,1]$, то есть после применения $F^*$ она осталась ранга $k$, хотя и стала зависеть от $t$, так что-ли? А потом $t$ отделили, и ранг уменьшился?

 
 
 
 
Сообщение17.01.2008, 11:29 
Аватара пользователя
AD писал(а):
А потом $t$ отделили, и ранг уменьшился?
Мне кажется, что делается именно так.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2008, 11:30 
Вроде понятно ... То есть интеграл понимается так:
$$\int_0^1 h_{i_1,\ldots,i_l}(x^1,\ldots,x^n,t)\ dx^{i_1}\wedge\,\ldots\,\wedge\,dx^{i_l}\ dt=\left(\int_0^1h_{i_1,\ldots,i_l}(x^1,\ldots,x^n,t)dt\right)\,dx^{i_1}\wedge\,\ldots\,\wedge \,dx^{i_l}$$

?

 
 
 
 
Сообщение17.01.2008, 11:37 
Аватара пользователя
Думаю - да, как и обычный интеграл по параметру от параметрического семейства.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2008, 11:38 
Спасибо, вроде, въезжаю ... :D

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group