целочисленная последовательность

[Руст]

1.Пусть $x(0)=0,x(1)=1,x(n+1)=ax(n)+bx(n-1)/2$, $a$ и $b$ нечётные целые числа. Сколько целых значений в последовательности $x(n)$ при $a=11,b=7.$
2. Пусть $y(n)=x(n)\cdot 2^{[(n-1)/2]}$. Доказать, что $y(n)$ целочисленная последовательность, причём $y(n)$ нечётное число, если $n$ не делится на $4$, а когда $n$ делится на $4$ выполняется соотношение $ord_2(y(n))=ord_2(n)+ord_2((a^2+b)/2)$.

[sceptic]

... для представления общего члена реккурентной последовательности через геометрические прогрессии, связанные с корнями характеристического уравнения последовательности. Подробности, например, - книжка Маркушевича "Возвратные последние" (п.6, стр. 25). После этого остается рутинная, но аккуратная работа по раскрытию скобок и суммированию, в результате которой Вы будете иметь выражение для n-го члена последовательности, зависящее от n - оно и позволит Вам получить ответы на Ваши вопросы.

[Руст]

Я то знаю, как решать и предлагаю только решённые интересные задачи. На самом деле здесь ещё нужно проделать малую хитрость для получения ответа.

[sceptic]

[Руст]

Даю решение предложенных мною старых задач.
Общее решение для такой последовательности имеет вид:
$x_n=\frac 1c (q_1^n-q_2^n),q_1=\frac{a+c}{2},q_2=q_1-c,c=\sqrt {a^2+2b}$, $q_1^2=m+d,d=\frac {ac}{2},q_2=m-d, m=\frac{a^2+b}{2}$.
Число $m$ целое (в силу нечётности $a$ и $b$). Рассмотрим отдельно $n=2k$ и $n=2k+1$.
(1)$ x_{2k}=a\sum\limits_{i=1}^{[(k+1)/2]} C_k^{2i-1}m^{k+1-2i}(d^2)^{2i}$.
Аналогичная формула получается для нечётных номеров, и при этом максимальная степень двойки в знаменателе получается всегда у последнего члена суммы. Если ввести последовательность $y_n=x_n\cdot 2^{[(n-1)/2]}$, получаем, что он всегда цел и нечётен, когда $n$ не делится на 4. Когда $n$ делится на 4 из (1) получается, что
$ord_2(y_n)=ord_2(mn).
При этом получается, что члены $x_0,x_1,x_2,x_4,x_8$ всегда целые. А при $n>2$ целы только для тех $n$ делящихся на 4, для которых выполняется:
(2)$[\frac{n-1}{2}]\le ord_2(mn),m=\frac{a^2+b}{2},4|n.
Достаточно проверить выполнение (2) для $n$, ограниченных неравенством
$n<8+3ord_2(m).$