2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 целочисленная последовательность
Сообщение09.02.2006, 10:58 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
1.Пусть $x(0)=0,x(1)=1,x(n+1)=ax(n)+bx(n-1)/2$, $a$ и $b$ нечётные целые числа. Сколько целых значений в последовательности $x(n)$ при $a=11,b=7.$
2. Пусть $y(n)=x(n)\cdot 2^{[(n-1)/2]}$. Доказать, что $y(n)$ целочисленная последовательность, причём $y(n)$ нечётное число, если $n$ не делится на $4$, а когда $n$ делится на $4$ выполняется соотношение $ord_2(y(n))=ord_2(n)+ord_2((a^2+b)/2)$.

 Профиль  
                  
 
 Используйте формулы ...
Сообщение09.02.2006, 14:37 


24/05/05
278
МО
... для представления общего члена реккурентной последовательности через геометрические прогрессии, связанные с корнями характеристического уравнения последовательности. Подробности, например, - книжка Маркушевича "Возвратные последние" (п.6, стр. 25). После этого остается рутинная, но аккуратная работа по раскрытию скобок и суммированию, в результате которой Вы будете иметь выражение для n-го члена последовательности, зависящее от n - оно и позволит Вам получить ответы на Ваши вопросы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2006, 15:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Я то знаю, как решать и предлагаю только решённые интересные задачи. На самом деле здесь ещё нужно проделать малую хитрость для получения ответа.

 Профиль  
                  
 
 Извините, что влез
Сообщение09.02.2006, 15:25 


24/05/05
278
МО
:cry:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2006, 22:29 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Даю решение предложенных мною старых задач.
Общее решение для такой последовательности имеет вид:
$x_n=\frac 1c (q_1^n-q_2^n),q_1=\frac{a+c}{2},q_2=q_1-c,c=\sqrt {a^2+2b}$, $q_1^2=m+d,d=\frac {ac}{2},q_2=m-d, m=\frac{a^2+b}{2}$.
Число $m$ целое (в силу нечётности $a$ и $b$). Рассмотрим отдельно $n=2k$ и $n=2k+1$.
(1)$ x_{2k}=a\sum\limits_{i=1}^{[(k+1)/2]} C_k^{2i-1}m^{k+1-2i}(d^2)^{2i}$.
Аналогичная формула получается для нечётных номеров, и при этом максимальная степень двойки в знаменателе получается всегда у последнего члена суммы. Если ввести последовательность $y_n=x_n\cdot 2^{[(n-1)/2]}$, получаем, что он всегда цел и нечётен, когда $n$ не делится на 4. Когда $n$ делится на 4 из (1) получается, что
$ord_2(y_n)=ord_2(mn).
При этом получается, что члены $x_0,x_1,x_2,x_4,x_8$ всегда целые. А при $n>2$ целы только для тех $n$ делящихся на 4, для которых выполняется:
(2)$[\frac{n-1}{2}]\le ord_2(mn),m=\frac{a^2+b}{2},4|n.
Достаточно проверить выполнение (2) для $n$, ограниченных неравенством
$n<8+3ord_2(m).$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group