Доказать обратное x^4+y^4=z^2

[Bar-Ovadiya]

Здравствуйте!

У меня вышла такая забавная история. Я недавно закончил универ. И в этом году решил поступать заочно в аспирантуру. Хотя сам технарь в области телекоммуникаций, специальность выбрал связанную с математикой, потому что считаю, что такая фундаментальная база наиболее пригодится в жизни и позволит сделать успешную карьеру. Но не суть. История вот в чем.

Меня отправили найти научного руководителя. Вчера пришел на кафедру к профессору на предварительное собеседование. Он меня спросил, занимался ли я математикой. Я сказал как есть, что не особо, то есть специально не занимался, а только слушал лекции на своем факультете, решал соответственно задачи, контрольные, сдавал экзамены. У нас математика была 5 семестров. Во всех семестрах у меня по математике были оценки "Отлично", кроме 5-го семестра, где я сдал экзамен на "Хорошо" и эта оценка пошла в диплом. Профессор, улыбнулся и спросил как я собираюсь с такой оценкой учится в математической аспирантуре . Я ответил, что я пришел попробовать и у меня есть желание, а разве еще что-то надо. Тогда он мне сказал, что люди многими годами занимаются математикой, учатся на математиков и не все поступают в аспирантуру, так как осознают ответственность и полную серьезность науки. Ну короче, он меня почему-то стал отговаривать, приводя всякие заумные примеры и сравнения, математические задачи, часть из которых я так и не понял, про что он говорил .

В итоге, я просидел у него почти 2 часа и напоследок этот профессор, не знаю еще зачем (видно хочет поглумиться) сказал, - "Ну ладно, мне надо бежать к ректору, вот тебе элементарная задачка, которая не требует от тебя никаких знаний высшей математики, а просто тут необходимо уметь правильным образом думать. Если решишь её до следующей недели, приходи еще, может быть что-то можно будет придумать на счет твоего обучения в аспирантуре. Если не знаешь как решать, тогда лучше тебе в другую аспирантуру. (И рассмеялся как фантомас,- Ха-ха-ха - это уже моя импровизация)."

Ну в общем, элементарная задачка от профессора такая. Доказать, что уравнение $x^4+y^4=z^2$ не имеет целых положительных решений при числах не больше 100.

Наверное я плохо врубаюсь или круглый дебил. Вчера почти целый день думал. Сегодня пол дня. Элементарного решения так и не нашел. Наверное те, кто учатся в матем. аспирантуре решают подобные задачки за 5 минут. У меня есть одно решение общего вида, которое и решил сразу опубликовать на ваше, уважаемые математики форума, рассмотрение. Не знаю, правильно или нет. Подскажите, пожалуйста.

a) По определению $x, y, z$ целые числа $\geqslant1$. Из уравнения $x^4=z^2-y^4=(z-y^2)(z+y^2)$. Левая часть $x^4\geqslant1$ тогда, когда $z\geqslant y^2$. Число $z$ не может быть равно $y^2$, так как в этом случае одно из этих чисел иррациональное, а это противоречит определению чисел. Остается $z > y^2$. Аналогичным образом можно показать, что $z > x^2$.
b) Перепишем уравнение в виде:

$$\frac{(x^2)^2}{z^2}+\frac{(y^2)^2}{z^2}=1$$

c) Исходя из установленных в п. а) отношений видно, что знаменатели слагаемых в левой части больше числителей, соответственно сумма двух слагаемых всегда будет:

$$\frac{(x^2)^2}{z^2}+\frac{(y^2)^2}{z^2}<2$$

[demolishka]

Переменная $z$ прекрасно выражается через $x$ и $y$. И задача решается перебором.

[Bar-Ovadiya]

demolishka в сообщении #961239 писал(а):

Переменная $z$ прекрасно выражается через $x$ и $y$. И задача решается перебором.

Да вы что? Т.е. нужно как-то по другому выразить переменную $z$, а мое решение не верное?

[Shadow]

Bar-Ovadiya в сообщении #961236 писал(а):

Ну короче, он меня почему-то стал отговаривать,

Может действительно не стоит.

[Oleg Zubelevich]

на Вашем месте, я на общение с этим профессором время больше не тратил бы. Потому как ведет он себя странно. А идти надо к человеку предсказуемому. Посоветуйтесь с аспирантами к кому идти.

[Bar-Ovadiya]

Shadow в сообщении #961243 писал(а):

Bar-Ovadiya в сообщении #961236 писал(а):

Ну короче, он меня почему-то стал отговаривать,

Может действительно не стоит.

Может быть мне показалось, что он меня отговаривает. На самом деле он хотел завлечь. Это был продуманный обходной маневр, чтобы нанести удар с тылу в виде задачи

[mihailm]

Не совсем понял, в чистую математику что ли собрались?
А задачу в экселе решите.

[Sender]

Bar-Ovadiya в сообщении #961236 писал(а):

Исходя из установленных в п. а) отношений видно, что знаменатели слагаемых в левой части больше числителей, соответственно сумма двух слагаемых всегда будет:

$$\frac{(x^2)^2}{z^2}+\frac{(y^2)^2}{z^2}<1$$

Из предыдущих рассуждений вроде бы следует оценка

$$\frac{(x^2)^2}{z^2}+\frac{(y^2)^2}{z^2}<2$$

[Shadow]

Но почему Вы думете, что если знаменатели двух дробей меньше числителей, то их сумма будет меньше 1? А когда, интересно, будет равна 1?

[Bar-Ovadiya]

Sender в сообщении #961251 писал(а):

Bar-Ovadiya в сообщении #961236 писал(а):

Исходя из установленных в п. а) отношений видно, что знаменатели слагаемых в левой части больше числителей, соответственно сумма двух слагаемых всегда будет:

$$\frac{(x^2)^2}{z^2}+\frac{(y^2)^2}{z^2}<1$$

Из предыдущих рассуждений вроде бы следует оценка

$$\frac{(x^2)^2}{z^2}+\frac{(y^2)^2}{z^2}<2$$

Вы правы! Значит я совсем профан ... Надо будет еще подумать, если поможет

-- 13.01.2015, 15:20 --

mihailm в сообщении #961249 писал(а):

Не совсем понял, в чистую математику что ли собрались?
А задачу в экселе решите.

Да даже не знаю, я не специалист, чтобы говорить какой вид она имеет - чистая, грязная, мутная, эмульсионная или какая там еще?

Специальности две, выбираю между ними 01.01.07 - вычислительная математика или 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

-- 13.01.2015, 15:22 --

Shadow в сообщении #961253 писал(а):

Но почему Вы думете, что если знаменатели двух дробей меньше числителей, то их сумма будет меньше 1? А когда, интересно, будет равна 1?

Исправил. Спасибо.

-- 13.01.2015, 15:26 --

Shadow в сообщении #961253 писал(а):

Но почему Вы думете, что если знаменатели двух дробей меньше числителей, то их сумма будет меньше 1? А когда, интересно, будет равна 1?

Наверное, это идея!

[mihailm]

Bar-Ovadiya в сообщении #961256 писал(а):

...Да даже не знаю, я не специалист, чтобы говорить какой вид она имеет - чистая, грязная, мутная, эмульсионная или какая там еще?
Специальности две, выбираю между ними 01.01.07 - вычислительная математика или 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика...

Это не чистая.
Вобще, как говорил дон Хуан: "добровольцев в маги не берут", собственное понимание (магии) мешает, да и способности лишними никогда не бывают)
Но вы все-таки попробуйте - другого способа проверить себя нет.

[ИСН]

Bar-Ovadiya в сообщении #961236 писал(а):

У меня есть одно решение общего вида, которое и решил сразу опубликовать на ваше, уважаемые математики форума, рассмотрение.

Ну ОК, давайте, пишите, рассмотрим.
Если нет - возможно, действительно лучше идти в 05.13.xx.

[provincialka]

Bar-Ovadiya
А профессор разрешал вам пользоваться литературой? Для диофантовых уравнений разработано множество методов.

[Oleg Zubelevich]

уравнение решается тупым перебором , программа на паскале пишется за 2 минуты

[Bar-Ovadiya]

provincialka в сообщении #961309 писал(а):

Bar-Ovadiya
А профессор разрешал вам пользоваться литературой? Для диофантовых уравнений разработано множество методов.

Про литературу он ничего не говорил. Скорее нет, чем да. Так как он упомянул, что задача решается элементарным способом, но нужно догадаться каким. Думаю, что привлечение какого-то спец. аппарата, спец. формул и т.д. и т.п. избыточно.