Функциональное уравнение I

[Edward_Tur]

$xf(y) - yf(x) = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$

[hick]

$f(0) = 0, f(x \neq 0) = C ( x - \frac {1} {x})$*,
where $C$ is an arbitrary constant.
*Assumption: $f(x)$ has a derivative at $x = 1$.

[neo66]

Edward_Tur писал(а):

$xf(y) - yf(x) = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$

А что еще требуется от функции? Это любая функция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющая функциональному уравнению?

[Edward_Tur]

Больше ничего не требуется от функции

[neo66]

Edward_Tur писал(а):

$xf(y) - yf(x) = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$

Во-первых, подставляя $x=2,y=0$, получаем, что $f(0)=0$. Подставляя $x=1,y=1$, получаем, что $f(1)=0$. Подставляя $x=-1,y=1$, получаем, что $f(-1)=0$.

Пусть теперь $y=x^2$. Тогда $xf(x^2)-x^2f(x)=f(x)$ или $f(x^2)=(x+\frac{1}{x})f(x)$. Обозначим $g(x)= \frac{f(x)}{x-\frac{1}{x}}$.

Тогда $\forall x\ne 0,1,-1 $ $g(x^2)=g(x)$.(!)

Далее, функция $g(x)$ удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
$x(y-\frac{1}{y})g(y) - y(x-\frac{1}{x})g(x) = (\frac{y}{x} -\frac{x}{y})g(\frac{y}{x})$.

Подставим в него $x^2,y^2$ вместо $x,y$. Получим (учитывая равенство $g(x^2)=g(x)$):
$x^2(y^2-\frac{1}{y^2})g(y) - y^2(x^2-\frac{1}{x^2})g(x) = (\frac{y^2}{x^2} -\frac{x^2}{y^2})g(\frac{y}{x})$.

Из этих двух равенств следует:

$[x(y-\frac{1}{y})g(y) - y(x-\frac{1}{x})g(x)](\frac{y}{x} +\frac{x}{y}) = x^2(y^2-\frac{1}{y^2})g(y) - y^2(x^2-\frac{1}{x^2})g(x)$

или после очевидных преобразований:
$xy(y-\frac{1}{y})(x-\frac{1}{x})(g(x)-g(y))=0$

Откуда следует, что, при $x\ne 0,1,-1 $ $g(x) \equiv const$

Значит, при $x\ne 0$, $f(x)=const(x-\frac{1}{x})$, и $f(0)=0$.