2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 13:03 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Цитата:
напишу $x\varnothing y\Leftrightarrow (x,y)\in \varnothing$. Хорошо? А Вы напишите определение рефлексивности этого отношения на непустом множестве и сделайте выводы.

$(x,x)\in \varnothing$ ложно $\forall x \in X$

Если $X$ пустое, тогда $\nexists x \in X, (x,x)\in \varnothing$
что в общем-то верно

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15789
Новомосковск
Kras, я покажу, как это делается для рефлексивности, а остальное Вы сделаете сами.
Прежде всего, определение рефлексивности лучше написать без сокращений:
отношение $\mathcal R$ на множестве $X$ рефлексивно, если $\forall x(x\in X\Rightarrow x\mathcal Rx)$.
Пусть $\mathcal R=\varnothing$.
Если $X\neq\varnothing$, то существует элемент $x\in X$, и для этого $x$ высказывание $x\mathcal Rx$ ложно, поэтому импликация $x\in X\Rightarrow x\mathcal Rx$ ложна (ведь $x\in X$ истинно), поэтому и всё высказывание $\forall x(x\in X\Rightarrow x\mathcal Rx)$ ложно, то есть, пустое отношение $\mathcal R$ не рефлексивно.
Если же $X=\varnothing$, то высказывание $x\in X$ ложно, поэтому импликация истинна для любого $x$, то есть, наше отношение рефлексивно (но оно, очевидно, является единственным отношением на пустом множестве; впрочем, модели на пустом множестве обычно не рассматриваются, и по умолчанию предполагается, что $X\neq\varnothing$).

Остальные свойства аккуратно рассмотрите сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение07.01.2015, 07:12 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Отношение $\mathcal R$ на множестве $X$ симметрично, если $\forall x,y((x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)\Rightarrow y\mathcal Rx)$.
Пусть $\mathcal R=\varnothing$.

Если $X\neq\varnothing$, то существуют элементы $x,y\in X$, и для них высказывания $x\mathcal Ry$ и $y\mathcal Rx$ являются ложными. Тогда высказывание $(x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)$ также будет ложным, поэтому импликация $(x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)\Rightarrow y\mathcal Rx$ истинна, и всё высказывание $\forall x,y((x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)\Rightarrow y\mathcal Rx)$ истинно, то есть пустое отношение $\mathcal R$ симметрично.

Если $X=\varnothing$, то высказывание $x\in X$ ложно, поэтому $(x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)$ ложно, и поэтому импликация истинна для любых $x$ и $y$, то есть отношение $\mathcal R$ симметрично.

Всё верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение07.01.2015, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Верно. Только в
Kras в сообщении #957790 писал(а):
для них высказывания $x\mathcal Ry$ и $y\mathcal Rx$ являются ложными

второе соотношение является лишним: оно верно, но не нужно.
(То есть верно, что ложно :wink: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение07.01.2015, 11:05 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Спасибо за помощь. Оказалось, что это довольно простая штука.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение12.01.2015, 22:19 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
То есть пустое отношение на пустом множестве является отношением эквивалентности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение12.01.2015, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6741
Вы же проверили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение12.01.2015, 23:00 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Да, я уже сам с собой. Я просто постигаю новые термины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение13.01.2015, 02:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
И порядка! И, о боже, линейного порядка. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group