Матрица поворота

[arseniiv]

Вообще, вопрос, по-моему, повёрнут с ног на голову, и полезнее показать как-нибудь без координат, что вектор, лежащий в ортогональном дополнении (в трёхмерном пространстве это «ось поворота») к плоскости поворота, не меняется при этом повороте. (Точнее, что поворот имеет собственные подпространства размерностей только 2 и 1, причём последние с собственным числом 1, что для трёхмерия означает, что нетривиальный поворот имеет эту самую ось вращения, переходящую в себя.) Неизменность координат последует автоматически.

-- Пн янв 12, 2015 01:45:03 --

(Чорд, снова я страницу начал.)

[Утундрий]

Полезней было бы раз и навсегда осознать, что поворот совершается в 2-плоскости. В любой, особо это отмечу, размерности.

[fronnya]

arseniiv
Если сделать рисунок и посмотреть, то, тот факт, что ось вращения не меняется, становится очевидным.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #960252 писал(а):

Полезней было бы раз и навсегда осознать, что поворот совершается в 2-плоскости. В любой, особо это отмечу, размерности.

А я не это написал (с учётом того, что может быть много таких пересекающихся только в нуле плоскостей)?

[Утундрий]

Возможно. Но вследствие чрезвычайной витиеватости написанного не до конца удаётся осознать какуб такую ось имеет плоскость поворота. И как именно она это делает.

[ewert]

Утундрий в сообщении #960252 писал(а):

Полезней было бы раз и навсегда осознать, что поворот совершается в 2-плоскости. В любой, особо это отмечу, размерности.

На всякий случай поясню, что это утверждение означает. Что у любой ортогональной матрицы (с положительным детерминантом) всегда есть единичное собственное число, причём кратность этого собственного числа всегда не меньше, чем $(n-2)$. Т.е. что в некоторой ортогональной системе координат такая матрица всегда имеет вид

$$\begin{pmatrix}\cos{\varphi}&-\sin{\varphi}&0&0&\cdots&0\\ \sin{\varphi}&\cos{\varphi}&0&0&\cdots&0\\ 0&0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}$$

[Munin]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #960234 писал(а):

какие я только тут роли не примерял, но вот роль форумного пугала еще не

Привыкайте, если не возьмётесь за ум.

Гоша был такой хороший мальчик, так жалко, что из него выросло вот это...

-- 12.01.2015 13:30:54 --

fronnya в сообщении #960253 писал(а):

Если сделать рисунок и посмотреть

Ну, для любой размерности это поначалу затруднительно :-)

ewert в сообщении #960406 писал(а):

Что у любой ортогональной матрицы (с положительным детерминантом) всегда есть единичное собственное число, причём кратность этого собственного числа всегда не меньше, чем $(n-2)$. Т.е. что в некоторой ортогональной системе координат такая матрица всегда имеет вид

$$\begin{pmatrix}\cos{\varphi}&-\sin{\varphi}&0&0&\cdots&0\\ \sin{\varphi}&\cos{\varphi}&0&0&\cdots&0\\ 0&0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}$$

А вот это уже, пардон, неверно. Ортогональная матрица - вещь более общая, чем поворот, о котором говорил Утундрий, и в некоторой ортогональной системе координат всегда имеет вид

$$\begin{pmatrix}\cos{\varphi_1}&-\sin{\varphi_1}&0&0&\cdots&0\\ \sin{\varphi_1}&\cos{\varphi_1}&0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cos{\varphi_2}&-\sin{\varphi_2}&\cdots&0\\ 0&0&\sin{\varphi_2}&\cos{\varphi_2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}$$

с $\lfloor n/2\rfloor$ клеточками, и последняя единичка то есть, то отсутствует в зависимости от того, чётная или нечётная полная размерность $n.$ (Разумеется, если углы $\varphi_k,$ начиная с некоторого, становятся нулевыми, то диагональ единичек продолжается на соответствующее число клеточек $2\times 2.$) Но как видно, такую ортогональную матрицу можно разложить в $\lfloor n/2\rfloor$ поворотов, каждый в 2-мерной плоскости, плоскости между собой перпендикулярны и не пересекаются, и соответствующие повороты коммутируют - их можно совершать в любом порядке.

-- 12.01.2015 13:36:04 --

Итак, есть:
- "повороты" (название неформальное) - ортогональные матрицы (с пол. опр.) с собственным числом $1$ кратности $\geqslant n-2$ - они имеют в некоторой орт.с.к. матрицу "с одной клеточкой";
- ортогональные матрицы (с пол. опр.) общего вида - они имеют в некоторой орт.с.к. матрицу "с $\lfloor n/2\rfloor$ клеточками" - и имеют собственное число $1$ кратности в большом диапазоне от $0$ до $n,$ единственное ограничение - что эта кратность такой же чётности, как и $n.$

[ewert]

Munin в сообщении #960485 писал(а):

и в некоторой ортогональной системе координат всегда имеет вид

Совершенно верно. Именно это и пытался сказать arseniiv, но у него не получилось. А вот что пытался сказать Утундрий -- совершенно непонятно.

Munin в сообщении #960485 писал(а):

Но как видно, такую ортогональную матрицу можно разложить в $\lfloor n/2\rfloor$ поворотов,

И это тоже напрасно. Слово "разложить" зарезервировано за совершенно другим утверждением: о том, что любой поворот можно получить как некоторую комбинацию двумерных, т.е. что соответствующая матрица раскладывается в произведение матриц Гивенса. Что никак не связано с разложимостью пространства в ортогональную сумму инвариантных не более чем двумерных подпространств.

-- Пн янв 12, 2015 14:50:19 --

Munin в сообщении #960485 писал(а):

и имеют собственное число $1$ кратности в большом диапазоне от $0$ до $n,$ единственное ограничение - что эта кратность такой же чётности, как и $n.$

Ну и опять же: они запросто могут не иметь собственными числами единички, но зато иметь минус единички. У Вас, как и у arseniiv, как-то смешиваются в голове понятия собственного числа и поворота.

[Munin]

ewert в сообщении #960498 писал(а):

Именно это и пытался сказать arseniiv, но у него не получилось.

Я бы сказал так: "Именно это и пытался сказать ewert, но у него не получилось."

(Оффтоп)

До чего ж доходит ваше нежелание видеть сучок в собственном глазу...

ewert в сообщении #960498 писал(а):

И это тоже напрасно. Слово "разложить" зарезервировано за совершенно другим утверждением: о том, что любой поворот можно получить как некоторую комбинацию двумерных, т.е. что соответствующая матрица раскладывается в произведение матриц Гивенса.

Именно это разложение и имеется в виду.

ewert в сообщении #960498 писал(а):

Что никак не связано с разложимостью пространства в ортогональную сумму инвариантных не более чем двумерных подпространств.

Связано.

ewert в сообщении #960498 писал(а):

Ну и опять же: они запросто могут не иметь собственными числами единички, но зато иметь минус единички.

Что всего лишь приведёт к тому, что собственное число единичка будет иметь меньшую кратность. И?

ewert в сообщении #960498 писал(а):

У Вас, как и у arseniiv, как-то смешиваются в голове понятия собственного числа и поворота.

Для начала исправьте мешанину у вас в голове. А потом уже наезжайте на меня, arseniiv, Утундри-я.

[arseniiv]

Ну, на самом деле, раз уж я позарился на ортогональное преобразование вообще, то может так статься, что ни одно одномерное собственное подпространство действительно собственным числом 1 не имеет: как раз поворот-с-отражением в трёхмерии. Если я правильно понял, что вы имели в виду минус-единицы, возникающие парами из-за поворотов на $\pi$.

[ewert]

arseniiv в сообщении #960715 писал(а):

Если я правильно понял, что вы имели в виду минус-единицы, возникающие парами из-за поворотов на $\pi$.

Естественно. Но это так, лишь довесок. Вы всего лишь не к месту приплели размерности собственных подпространств. А вот это

Munin в сообщении #960545 писал(а):

Связано.

-- свидетельствует об уже патологическом нежелании понимать, откуда какие ноги растут. Чётко же сказано было: $QR$-разложение и спектральная теорема для унитарных матриц не имеют никакого отношения друг к другу. Так нет же: пошевелить хоть одной мозгой -- невместно.

[arseniiv]

ewert в сообщении #960739 писал(а):

Вы всего лишь не к месту приплели размерности собственных подпространств.

Но почему? Разве оттуда не будет видно, что вектор из суммы всех одномерных собственных подпространств с собственным числом 1 перейдёт в себя? И что в трёхмерном пространстве ортогональное преобразование, не меняющее ориентацию, имеет эту сумму одномерной, чего и хочется.

-- Пн янв 12, 2015 23:30:44 --

(Понимаю, я мог что-то посчитать очевидным и упустить из сообщения. Если так, и если снова не угадал, что упущено, то могли бы хоть намекнуть. )

[ewert]

arseniiv в сообщении #960787 писал(а):

Но почему?

Aber darum:

arseniiv в сообщении #960247 писал(а):

поворот имеет собственные подпространства размерностей только 2 и 1

Поворот, конечно, "имеет собственные подпространства". В некотором смысле. В том смысле, что они его личные, т.е. что каждая пара взаимно комплексно сопряжённых собственных векторов определяет некоторое инвариантное подпространство, в котором можно выделить ортонормированный вещественный базис. И в этом базисе соотв. диагональный блок исходной матрицы будет состоять из синусов-косинусов, это да.

Только вот всё остальное совершенно невпопад. Во-первых, это двумерное подпространство -- отнюдь не собственное, т.к. натянуто на два собственных вектора, отвечающих разным собственным числам (опять же комплексно сопряжённых друг другу). А во-вторых, если уж говорить о подпространствах воистину собственных (т.е. отвечающих одному и тому же собственному числу), то они могут иметь какую угодно размерность.

[Munin]

ewert в сообщении #960739 писал(а):

Чётко же сказано было

Точно так же чётко было сказано и несколько феерических ляпов. Так что ваша чёткость - не критерий, чтобы все вокруг вытягивались под козырёк.

-- 12.01.2015 22:30:56 --

ewert в сообщении #960800 писал(а):

Aber darum

Извольте перевести.

[arseniiv]

Ну вот, надо было всего-то сказать: какие такие собственные, когда инвариантные. Да, перепутал термины.

-- Вт янв 13, 2015 02:18:07 --

Точнее, наименьшие нетривиальные инвариантные подпространства.