Метрика и мощности множеств

[Bacon]

Задача такая:
Может ли счетное множество на плоскости иметь континуум предельных точек, ни одна из которых не принадлежит этому счетному множеству?
Введем на плоскости систему координат $XY$. Рассмотрим на $OX$ множество $[1;+\infty)$. Назовем его $A$
(Чем не множество на плоскости?)
На нем введем метрику:
$\max([x],[y])$, Если $x \ne y$, где $[x]$ - целая часть числа
$0$, Если $x = y$.
Тогда для множества только натуральный числе из $A$ ( $N$ ) найдется континуум предельных точек из $A$. Это точки из $A\setminus N$. В окрестность для каждой точки в этой метрике обязательно попадут точки из $N$ . Значит, да, может.
Правильное рассуждение?

[Brukvalub]

Для начала: разве условием разрешено уродовать стандартную Эвклидову метрику плоскости?

[Oleg Zubelevich]

это не задача, это игра в подавки какая-то

[Nemiroff]

Bacon в сообщении #960758 писал(а):

счетное множество на плоскости

Что такое плоскость?

Bacon в сообщении #960758 писал(а):

иметь

Только "иметь" или всё же, чтоб её предельные точки формировали… и далее по списку?

[мат-ламер]

.

[Bacon]

Brukvalub
Ну а почему бы и нет, указаний какую метрику здесь использовать нет. А все что не запрещено, то разрешено.

[мат-ламер]

Bacon в сообщении #960758 писал(а):

На нем введем метрику:
$\max([x],[y])$, Если $x \ne y$, где $[x]$ - целая часть числа
$0$, Если $x = y$.

Это разве метрика?

[ewert]

Bacon, Вы когда-нибудь слышали про рациональные и иррациональные числа?...

[Bacon]

Nemiroff
Я так понимаю $R \times R$. Ваши претензии к слову "иметь" мне не понятны.

[Nemiroff]

мат-ламер в сообщении #960771 писал(а):

Это разве метрика?

Нет конечно. Но тут веселее вещи есть.

-- Пн янв 12, 2015 21:19:05 --

Bacon в сообщении #960777 писал(а):

Я так понимаю $R \times R$.

Тогда не уродуйте метрику, как вам Brukvalub и сказал. Какие ещё координаты? У вас и так числовое множество.

Bacon в сообщении #960777 писал(а):

Ваши претензии к слову "иметь" мне не понятны.

Есть множество предельных точек. Одно дело, оно таково, что оно несчётно и не пересекается с исходным. Другое дело, в нём внутри есть подмножество, которое несчётно и не пересекается с исходным. По-русски и так, и так — "иметь".

[provincialka]

Согласна с Nemiroff
Непонятно, зачем сказано

Bacon в сообщении #960758 писал(а):

ни одна из которых не принадлежит этому счетному множеству

Из которых "которых"? Из континуума? Или из всех предельных?

В первом смысле добавление излишне: если из континуума удалить счетное множество, он останется континуумом.
Если имелся в виду второй случай, стоило сказать об этом определеннее.

[cool.phenon]

Мне кажется, что рациональные числа здесь не подойдут, так как каждое из них само по себе является предельной точкой рациональных чисел, а условие требует, чтобы предельные точки не входили в множество.

[Bacon]

Nemiroff
provincialka
Честно говоря никак не пойму, почему это не метрика на $A$. Вроде же все аксиомы выполняются.
Я понимаю задачу так: существует ли на плоскости счетное множество, у которой континуум предельных точек, таких что ни одна из них не принадлежит этому счетному множеству. Случай когда это подмножество всех ее предельных точек или вообще все ее предельные точки - не важно, оба варианта проходят.

[Nemiroff]

Bacon в сообщении #960790 писал(а):

Вроде же все аксиомы выполняются.

Ну докажите.

[provincialka]

Раз говорят не "произвольное метрическое пространство", а "на плоскости", это подразумевает стандартную метрику на плоскости. Ибо иначе зачем?

Формулировка по прежнему лукавая. Например, "И.И. имеет 5 знакомых женщин, из которых ни одна ему не жена". Это как понимать? Видимо так, что есть жена (возможно), а есть еще пять знакомых женщин.
А можно понимать так: всего знакомых женщин 5, и ни одна из них не жена. Тогда жены у И.И. вообще нет (странно было бы иметь "незнакомую" жену ).

У вас то же самое. Но первая интерпретация бессмысленна, так как континуум он и есть континуум, причем тут "жена" счетное множество?
Значит, надо выбирать вторую интерпретацию. Но это только домысел.