Интеграл от вектора

[volchenok]

А откуда следует такое "правило на пальцах"?

[Oleg Zubelevich]

maxmatem в сообщении #960573 писал(а):

интеграл приведенный Вами выше , будет инвариантным?

ну а как по-вашему, здравому смыслу потоk векторного поля через поверхность это инвариантная величина или нет?

Munin в сообщении #960569 писал(а):

Если не скалярная - то это не будет инвариант.

а вот мы тут некоторое время назад тензор напряжений обсуждали...

[provincialka]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #960569 писал(а):

Не зря я сунул нос в математическую тему...

Мы на ВМК до теории поля в матане вообще не доходим. Нужны другие математики, механико- или физико-ориенитрованные

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #960578 писал(а):

а вот мы тут некоторое время назад тензор напряжений обсуждали...

Ох, извините, не помню в чём там дело было...

volchenok в сообщении #960576 писал(а):

А откуда следует такое "правило на пальцах"?

Грубо говоря, для того, чтобы интегрировать нескалярную величину, её надо как-то переносить с одного места на другое в пространстве. Да любую величину. Вот вы проинтегрировали один кусочек, проинтегрировали другой, теперь их надо между собой сложить. Для этого, мы тащим их в одно место, и там складываем. $\int\limits_{A+B}=\int\limits_{A}+\int\limits_{B}.$

Но вот тут-то и лежит подстава! Переносить величины с одного места в другое - можно только в плоском пространстве, и хорошо бы в декартовой системе координат (в других тоже можно, но весьма трудоёмко). Единственная величина, которая от этого не страдает - это скаляр. Вот скаляры и можно легко инвариантно интегрировать. А векторы, тензоры и т. п. - разве что с большими оглядками.

И кстати, даже со скалярами вас может поджидать ловушка. Есть величина, не являющаяся ни вектором, ни чем-то более сложным, одно число - но не скаляр! Это плотность. Это скаляр, поделенный на объём. (На самом деле, целая серия плотностей, в зависимости от степени объёма.) Вот её тоже нельзя инвариантно интегрировать, потому что элемент объёма в разных системах координат тоже меняется. Точнее, если интеграл имеет вид $\int f\,dV,$ то $f$ как раз должна быть именно плотностью, чтобы тогда произведение $f\,dV$ оказалось не плотностью, а чистым скаляром.

[Oleg Zubelevich]

дело было в том, что сила ,действующая на поверхность $S$ объема сплошной среды вычисляется по формуле $\overline F=\int_Sp_i^jn^i\overline e_jds$ т.е. как раз интеграл от векторного поля и, конечно, он инвариантен

[Munin]

Если вы ещё напомните смысл всех букв, будет совсем замечательно.

[Oleg Zubelevich]

$p_i^j$ -- тензор напряжений; $n^i$ -- нормаь к поверхности $S$; $\overline e_i$ -- базисное векторное поле в объеме сплошной среды

-- Пн янв 12, 2015 17:37:20 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875652 писал(а):

да, это принципиальное замечание, должен быть такой текст:

Постулируем, что сила, действующая на любую часть $\Sigma\subseteq\partial W$со стороны объемлющей (внешней по отношению к $W$) среды, вычисляется с помощью тензора $p^{ij}(x),\quad x\in D$ по формуле

$$F=\int_{\Sigma}p^{ij}\sqrt g\epsilon_{jkn}e_i\otimes dx^k\otimes dx^n$$

$$=\int_{\Sigma}\sqrt ge_i\otimes \big(p^{i1} dx^2\wedge dx^3+p^{i2} dx^3\wedge dx^1+p^{i3} dx^1\wedge dx^2\big).$$

Причем ориентация $\Sigma$ согласована с ориентацией $W$.

По-моему это только проявляет аксиальность.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #960652 писал(а):

$\overline e_i$ -- базисное векторное поле в объеме сплошной среды

У-у-у, вот тут собака неинвариантность и зарыта...

[Oleg Zubelevich]

а какая может быть неинвариантность , когда это формула для вычисления силы?

[volchenok]

а как же интеграл от вектора?

[мат-ламер]

volchenok в сообщении #961893 писал(а):

а как же интеграл от вектора?

Попробуйте упростить задачу. Пусть вектора нет. Пусть требуется найти площадь поверхности сферы. Пусть даже длину окружности $x^2+y^2=1$. И тут мы вводим замену $x'=2x,y'=2y$. Изменится при этом длина окружности? Понятно, что длина окружности будет инвариант. Но вот запись этого инварианта в других координатах будет другой (хотя запись этого инварианта от координат и не зависит).