Вариационная задача (норма функционала)

[незваный гость]

Да нет, это я $1$ пропустил , когда выражение вбивал. Должно быть $\sqrt{2\pi}\frac{\tanh \pi}{\pi}(1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2 \cos {k x}}{k^2+1})$, со значением минимума $4 \pi \tanh \pi \approx 12.5195$. $f(\pi) = \frac {\sqrt{2\pi}} {\cosh \pi}$.

Все это весьма интересно. У меня, однако, осталась фига в кармане. А именно, все это очень смахивает на классическую задачу вариационного исчисления. С точностью до симметрии, мы можем минимизировать интеграл на отрезке [0,\pi]. Понятное дело, конец закреплен. Может, кто-нибудь покажет решение вариационной задачи в этом случае? Или объяснит, почему применять нельзя?

[незваный гость]

Уж больно картинка хороша -- форма нормированной в 0 функции для конечного числа членов (5, 10, 20, 50,...)


А это - производная:

[AHOHbIMHO]

AHOHbIMHO писал(а):

незванный гость писал(а):

:evil:
Уж больно картинка хороша -- форма нормированной в 0 функции для конечного числа членов (5, 10, 20, 50,...)
[img]...[/img]

Я полагаю, это просто $f(0)exp(-|x|)$

[AHOHbIMHO]

незванный гость писал(а):

:evil:
Уж больно картинка хороша -- форма нормированной в 0 функции для конечного числа членов (5, 10, 20, 50,...)
[img]...[/img]

А это - производная:
[img]..ю[/img]

Так-с. Посмотрев на производную, я уточняю гипотезу.
$f(x)=f(0)\frac{\cosh(\pi-|x|)+b}{\cosh(\pi)+b}$. Возможно $b=0$.

[незваный гость]

Обратите внимание -- $f(\pi)=\frac{f(0)}{\cosh \pi}$. Кроме того, известно значение интеграла -- есть на чем проверять гипотезы. ДА и ряд Фурье разложить можно...

[AHOHbIMHO]

незванный гость писал(а):

:evil:
Обратите внимание -- $f(\pi)=\frac{f(0)}{\cosh \pi}$. Кроме того, известно значение интеграла -- есть на чем проверять гипотезы. ДА и ряд Фурье разложить можно...

Все, окончательно получил
$f(x)=f(0)\frac{\cosh(\pi-|x|)}{\cosh(\pi)}$

[незваный гость]

Фууу. Разобрался. Работает вариационный принцип, это я проврался в знаке, пока решал. Применяя уравнение Эйлера-Лагранжа, имеем $f''(x)=f(x)$, из чего умозаключаем $f(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}$. Из начального значения в $0$ и минимизируя интеграл (на сей раз по константам), имеем $f(x) = \frac{\sqrt{2 \pi}}{\cosh \pi} \cosh(\pi - x)$. Для отрицательных же $x$ $f(x) = \frac{\sqrt{2 \pi}}{\cosh \pi} \cosh(\pi + x)$. Объединяя, имеем формулу $f(x) = \frac{\sqrt{2 \pi}}{\cosh \pi} \cosh(\pi - |x|)$. Спайка в нуле -- от того, что в нуле задано начальное значение.

[AHOHbIMHO]

незванный гость писал(а):

:evil:
...
А именно, все это очень смахивает на классическую задачу вариационного исчисления. С точностью до симметрии, мы можем минимизировать интеграл на отрезке [0,\pi]. Понятное дело, конец закреплен. Может, кто-нибудь покажет решение вариационной задачи в этом случае? ...

Ну, вобщем, изначально я пытался решить вариационным методом, но засомневался в правильности такого подхода, т.к. рассматриваем кусочно-гладкие функции. Сейчас, когда знаю ответ, то смело могу изложить решение через вариационное исчисление.

Итак, при заданном f(0) ищем непрерывную, кусочно-гладкую, периодическую функцию f(x). Откуда на вариацию накладываются условия:
$\delta f(0)=0, \delta f(-\pi)=\delta f(\pi)$. Вариация интеграла равна
$0=\delta I=\int_{-\pi}^{\pi}\left[ (f^2(x)+f'^2(x)\right]dx$ $=2\int_{-\pi}^{\pi}\left[ (f(x)-f''(x))\delta f(x)+(f'(x)\delta f(x))'\right]dx$ $=2\int_{-\pi}^{\pi}\left[ (f(x)-f''(x))\delta f(x)\right]dx + 2(f'(x)\delta f(x))|_{-\pi}^{\pi}$. Т.к. при $-\pi < x < 0$ или $0 < x < \pi$ вариация произвольна, то $f(x)-f''(x)=0$ на этих интервалах. Откуда $f(x)=A_- \exp(x)+ B_- \exp(-x)$ при $-\pi < x < 0$ , $f(x)=A_+ \exp(x)+ B_+ \exp(-x)$ при $0 < x < \pi$.
"Сшиваем" непрерывно:
$A_- + B_- =f(0)$
$A_+ + B_+ =f(0)$
Пишем условие периодичности:
$A_- \exp(-\pi)+ B_- \exp(\pi) = A_+ \exp(\pi)+ B_+ \exp(-\pi)$
Ух ты! Четыре незвестных, три уравнения. Один произвольный параметр. Придется вычислить интеграл, и минимизировать его по этому параметру. Вдруг мы получим нечто отличное от решения, полученного из поиска в виде суммы ряда Фурье, т.е. получим типа спонтанного нарушения симметрии. Прдолжение следует...

[незваный гость]

Спасибо, я уже вроде разобрался -- см. выше...

AHOHbIMHO писал(а):

Пишем условие периодичности:
$A_- \exp(-\pi)+ B_- \exp(\pi) = A_+ \exp(\pi)+ B_+ \exp(-\pi)$

А оно-то откуда? Нет у нас требования на периодичность. Как получиться, так и ладно. Я обе половины минимизировал.

[AHOHbIMHO]

незванный гость писал(а):

:evil:
Спасибо, я уже вроде разобрался -- см. выше...

AHOHbIMHO писал(а):

Пишем условие периодичности:
$A_- \exp(-\pi)+ B_- \exp(\pi) = A_+ \exp(\pi)+ B_+ \exp(-\pi)$

А оно-то откуда? Нет у нас требования на периодичность. Как получиться, так и ладно. Я обе половины минимизировал.

Вполне возможно. Просто я не знаю определение $L_2[-\pi,\pi]$. А что оно значит?

[some0body]

AHOHbIMHO писал(а):

Просто я не знаю определение $L_2[-\pi,\pi]$. А что оно значит?

$L_2[-\pi; \pi]$ - множество функций, квадрат которых интегрируем в подходящем смысле на $[-\pi; \pi]$.
Благодарю всех отозвавшихся, но минимизация нормы мне, к сожалению, не подхродит. Нельзя ли вариационными методами найти максимум $f(0)$ при условии $\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx + \int\limits_{-\pi}^{\pi} f'(x)^2 dx = 1$? И, если можно, то как?

[незваный гость]

Мы по существу доказали, что для любой f: f(0) = a функционал $J(f) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 + f'(x)^2 {\rm d}x $ удовлетворяет неравентсву $J(f) \ge 2 \tanh \pi \, a^2 $, причем неравенство точное (становиться равенством при $f(x) = \frac{a}{\cosh \pi} \cosh(\pi - |x|)$).

Ваша задача дуальна. Пусть максимум max f(0) = b. Тогда, в силу доказанного, имеем $1 = J(f) >= 2 \tanh \pi \, b^2$. Откуда $ b \le \frac{1}{\sqrt{2 \tanh \pi}}$. С другой стороны, для $f_0(x) = \frac{1}{\sqrt{\sinh 2 \pi}} \cosh(\pi - |x|)$ имеет норму 1: $J(f_0)=1$. Что нам и требовалось.

[some0body]

незванный гость
Благодарю Вас: осознал.

[some0body]

Будем искать норму F (см. мой первый пост) - тот самый максимум f(0) при J(f)=1. Пространство W^1_2[-\pi; \pi] со скалярным произведением \left( f, g\right)_W = \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x) + f'(x)g'(x) dx гильбертово.
Следовательно, оно совпадает с со своим сопряженным, т.е. \forall F \in W^* \exists f_F \in W \left(F(f) = \left(f_F, f\right)\right). Получаем, используя равенство Парсеваля, для ортонормированной (полной в сепарабельном гильбертовом пространстве) системы \{\phi_k(x)\} следующее.
$\left{||}F\right{||}_{W^*} = \left{||}F^*\right{||}_{W^*^*} = \left{||}f_F\right{||}_W = \sum\limits_{k=1}^\infty \left | \left ( f_F, \phi_k\right)\right|^2 = \sum\limits_{k=1}^\infty \left | F(\phi_k)\right|^2 = \sum\limits_{k=1}^\infty \left | \phi_k(0) \right|^2 $.
В качестве ортобазиса я взял (в пространстве комплекснозначных функций - при увеличении пространства норма, вроде, не должна уменьшиться) \phi_k(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(k^2+1)}}e^{ikx}. Суммироание (от -\infty до +\infty) дало \approx 0.50187093 < \frac{1}{\sqrt{2\tanh(\pi)}}. В чем ошибка?

[незваный гость]

Ну, во первых, на первый взгляд, $\|F\|_{W^*} = \sqrt{ \sum\limits_{k=1}^\infty \left | \left ( f_F, \phi_k\right)\right|^2 } $. Во вторых, будем думать дальше, поскольку суммы у меня и у Вас не совпали. Зато, если Вы извлечете корень из Вашей суммы, Вы получите точное совпадение...