книга про тензоры для физиков теоретиков

[illuminates]

Добрый день. Хотел бы вашей рекомендации о том какие книги написаны, с одной стороны на современном математическом языке, с другой имеют хорошие направления, главы, указания на физику непосредственно.

Вообще, мне бы хотелось в первую очередь, что-бы там определялся тензор как тензорное перемножение пространств и сопряженных пространств. Я к сожалению, об этом не имею и понятия. Почему нужны эти два пространства? Почему не одно? и т.д. Что-бы в книге максимально все подробно рассказывалось (быть может на физических примерах)

вообще на примете такие книги
1) Современная геометрия - Дубровин, Новиков, Фаменко
К сожалению в ней, не водится этих сопряженных пространств. Или я просто не дошёл?
2) Кострикин Манин - Линейная алгебра и геометрия
Там как раз определение, что я хочу понять. Но оно в самой последней главе. Не знаю, смогу ли я понять осилить все главы. Не так уж и легко читаются они. Я как раз и в сомненьях и пишу сюда чтоб спросить. Может есть альтернативы?
3) Пенроуз Риндлер Спиноры и пространство-время
Вроде видел что там то же похожее что-то написано. Но стоит ли начинать именно с неё?

[Munin]

Для физики всё это избыточно напрочь.

Для первого знакомства с тензорами, и потом ещё лет 10 работы с ними без проблем - вполне достаточно ЛЛ-2 § 6, ну максимум ещё § 85.

Для углублённого знакомства - надо понять тензоры как представления группы вращений, это, например, Рубаков "Классические калибровочные поля", глава 3. Здесь же надо познакомиться со спинорами. И всё. Этого хватит на всю жизнь.

А вы хотите чего-то математически-алгебраического.

[illuminates]

Munin
ЛЛ2 почти от корки до корки изучил. ("почти" ибо в гравитацию плохо проникся)

Всё же, тензорным умножением и суммами пространств физики пользуются? А раз так, то почему бы не понять определение тензора на этом языке.

[vanger]

illuminates в сообщении #959552 писал(а):

Хотел бы вашей рекомендации о том какие книги написаны, с одной стороны на современном математическом языке, с другой имеют хорошие направления, главы, указания на физику непосредственно.

Fecko, Differential Geometry and Lie Groups for Physicists. Идеально удовлетворяет требованиям.

Как можно понимать 6 параграф из ЛЛ2, предварительно не зная всего, о чём там написано, для меня остаётся загадкой.

[мат-ламер]

Может для начала Гельфанда почитать? "Лекции по линейной алгебре".

-- Сб янв 10, 2015 23:16:37 --

Но если Кострикин с Маниным сложно читаются, то можно взять просто Кострикина, второй том из трёхтомника.

-- Сб янв 10, 2015 23:18:08 --

illuminates в сообщении #959552 писал(а):

1) Современная геометрия - Дубровин, Новиков, Фаменко

Мне не понравилось, как там изложены символы Кристоффеля и ковариантная производная.

[Munin]

illuminates в сообщении #959567 писал(а):

Всё же, тензорным умножением и суммами пространств физики пользуются? А раз так, то почему бы не понять определение тензора на этом языке.

Физики - практически не пользуются. Физики обычно фиксируют пространство, и дальше в нём работают.

Можете искать для себя определение тензора на этом языке, но не надо оправдывать его фразами типа "для физиков-теоретиков".

Суммами и произведениями физики пользуются практически только для представлений групп.

vanger в сообщении #959602 писал(а):

Как можно понимать 6 параграф из ЛЛ2, предварительно не зная всего, о чём там написано, для меня остаётся загадкой.

А всё очень просто: его не понимают, его сначала используют как руководство к действию. "Делай так", "считай так", а потом, когда привыкнешь - кажется, что и понимаешь всё. Вот эта циферка идёт туда, а вот эта сюда - понятно же.

К тому же, вы не забывайте, люди приходят к ЛЛ-2, прочитавши уже матан ("теория векторного поля"), линал ("преобразования векторов и разных матриц при поворотах пространства"), общую физику ("уравнения механики и Максвелла и их решения"). Так что это выглядит всего лишь как ступенька расширения и обобщения уже освоенных понятий.

[illuminates]

Munin
По мне, не понимать вопросов что я спросил = не понимать что такое к примеру интеграл

С такой логикой можно утверждать, что и математикам это не нужно. Умею интегрировать - и хорошо. На этом и хватит.

Хотя ещё Ландау говорил, что понимать формулу - это помнить как она выведена
Или например Пенроуз. Я уверен, что он знает всю эту теорию как бог.

[Ms-dos4]

illuminates
Вам всё верно сказали. Тот же Ландау говорил, что важна именно ТЕХНИЧЕСКАЯ сторона вопроса. Т.е. вы можете не знать теорем существования и т.п., но обязаны быстро брать интегралы, решать ДУ и т.д. Чем собственно сам Ландау и славился - отличной техникой. А именно понимание "глубинных" вопросов математики не так уж и важно, да и к тому же после того, как техника освоена, понимание если и не придёт само, то с ним будет уже намного легче.
P.S.А Пенроуз вообще математик по образованию, ещё ему бы не знать.

[vanger]

Munin в сообщении #959721 писал(а):

А всё очень просто: его не понимают, его сначала используют как руководство к действию. "Делай так", "считай так", а потом, когда привыкнешь - кажется, что и понимаешь всё. Вот эта циферка идёт туда, а вот эта сюда - понятно же.

Ну да. Как это может быть "понятно же" для меня и загадочно :) В ландавшице уж больно сильный крен в сторону "считай @ привыкай". По мне, так, с теми же тензорами, проще осилить пару параграфов второго тома Постникова, например, чем мучиться вопросом: "что же я делаю?" Всё-таки, одно дело пропустить доказательство теоремы, а другое -- пропустить внятное инвариантное определение объектов, с которыми работаешь, и "которыми думаешь".

Ну и плюс к очевидному побочному эффекту, замеченному Brukvalub. Всё-таки, как Манин говорил: "Определения важнее доказательств, а доказательства важнее теорем". И если силы и время позволяют, лучше придерживаться этой последовательности приоритетов. Но если вгрызться в гранит науки никак не получается, то лучше, хотя бы "делай так", чем никак, конечно.

[Brukvalub]

Ms-dos4 в сообщении #959829 писал(а):

illuminates
Вам всё верно сказали. Тот же Ландау говорил, что важна именно ТЕХНИЧЕСКАЯ сторона вопроса. Т.е. вы можете не знать теорем существования и т.п., но обязаны быстро брать интегралы, решать ДУ и т.д. Чем собственно сам Ландау и славился - отличной техникой. А именно понимание "глубинных" вопросов математики не так уж и важно, да и к тому же после того, как техника освоена, понимание если и не придёт само, то с ним будет уже намного легче.
P.S.А Пенроуз вообще математик по образованию, ещё ему бы не знать.

На скользкую дорожку толкаете человека! У меня студенты, "прекрасно владеющие техникой" нередко применяют правило Лопиталя к "неопределенности $\frac{1}{1}$ и регулярно "совершают чудесные математические открытия"! Или доказывают "новые теоремы", опираясь на компактность ед. шара в Гильбертовом пространстве. В общем, многие благоглупости начинаются с тезиса: "техника - все, точные знания - ничто".

[Ms-dos4]

Brukvalub
Так простите меня, где ж здесь техника то у них? Часть владения техникой - знать применение правила. И например у Лопиталя есть вполне определённые границы, где его можно(и нужно) применять. И, кстати говоря, я не знаю, что такое неопределённость типа $\[\frac{1}{1}\]$

А так может быть вы и правы, но опираясь на свой (пока ещё небольшой, конечно) опыт в физике, могу сказать что польза от каких то "высших" идей не такая уж и большая. Решает в основном просто хорошее владение аппаратом, который применяется в данной области, а в части правомерности можно поверить математикам, и просто следовать их "рекомендациям".
P.S.Я вот например и чистой математикой интересновался, так наш преподаватель по статфизике часто меня подкалывал, в духе
(преп.)-Вы ведь знаете функции, для которых $\[\partial _{xy}^2f \ne \partial _{yx}^2f\]$?
(я)-Да
-Ну так забудьте, таких тут не встречается

[Brukvalub]

Ms-dos4 в сообщении #959942 писал(а):

...
P.S.Я вот например и чистой математикой интересновался, так наш преподаватель по статфизике часто меня подкалывал, в духе
(преп.)-Вы ведь знаете функции, для которых $\[\partial _{xy}^2f \ne \partial _{yx}^2f\]$?
(я)-Да
-Ну так забудьте, таких тут не встречается

Если будете на мех-мате МГУ, то непременно загляните на механические кафедры! В прикладной механике (аэромеханике, гидромеханике, теории композитов и т.п.) самое интересное начинается на границах разрывов, при потере гладкости решений и т.п., то есть когда во весь рост вылезают как раз примерно такие функции.

[Munin]

illuminates
Знаете, это каждый раз так очаровательно, когда человек приходит, задаёт вопрос, выслушивает ответ, и начинает доказывать, что ответ неправильный, а на самом деле он должен быть совсем другим.

Если у вас есть столь прочное мнение, то зачем вы спрашивали?
А если вас интересует правда, которой вы не знаете, то зачем вы бросаетесь переспоривать собеседников?

Определитесь, "либо туда, либо сюда".

vanger в сообщении #959889 писал(а):

Ну да. Как это может быть "понятно же" для меня и загадочно :)

Ощущение "понятности" у человека очень часто возникает из привычки. Он ходит по какому-то предмету, как по своей комнате, и знает его как свои пять пальцев. А чего ещё от понимания нужно? По сути, когда человек смотрит и разбирает определение предмета, то он добивается в конечной цели того же самого: чтобы предмет ему был знаком, чтобы от него не было никаких неожиданностей.

vanger в сообщении #959889 писал(а):

По мне, так, с теми же тензорами, проще осилить пару параграфов второго тома Постникова, например, чем мучиться вопросом: "что же я делаю?" Всё-таки, одно дело пропустить доказательство теоремы, а другое -- пропустить внятное инвариантное определение объектов, с которыми работаешь, и "которыми думаешь".

Да, всё окей, можно и осилить Постникова. Но реально читатели не мучаются с вопросом "что же я делаю?". Во-первых, не так всё дико и ново, а во-вторых, мучаться некогда, надо задачи на зачёт успевать решать :-) А когда первый наскок прошёл, то тут уже и привычка какая-то появилась. С объектом и так ясно, как иметь дело, а его инвариантность видна на практике.

vanger в сообщении #959889 писал(а):

Всё-таки, как Манин говорил: "Определения важнее доказательств, а доказательства важнее теорем".

Я думаю, что в этой иерархии первый акцент - не на wording-е определений, а на тех понятиях, которые вынесены в определения, и которые полагаются центральными объектами теории. Как я уже говорил в других темах, идея понятия первичнее определения.

Ms-dos4 в сообщении #959942 писал(а):

Так простите меня, где ж здесь техника то у них? Часть владения техникой - знать применение правила.

+1.

[vanger]

Munin в сообщении #960012 писал(а):

Ощущение "понятности" у человека очень часто возникает из привычки.

Ну да. Какая-то доля из привычки. Но смертельная доза "привычной доли" у разных людей разная.

Munin в сообщении #960012 писал(а):

Он ходит по какому-то предмету, как по своей комнате, и знает его как свои пять пальцев. А чего ещё от понимания нужно?

Например, посмотреть на комнату со стороны, с высоты: одно дело запомнить все повороты в лабиринте, а другое -- увидеть его с высоты. Узнать, какой у неё фундамент: как она связана с теми местами, где уже бывал. Висящий в воздухе объект: "тензор -- это набор чисел, преобразующихся так-то", -- это неприятно. Набор чисел -- это куча. Определения, в которых объект объявляется набором чего-то, порождают образы, плохо упаковывающиеся в уме. У более элегантных инвариантных определений с этим лучше, но с ними чуть сложнее добраться до внутренней структуры объекта, его низкоуровневой механики.

Munin в сообщении #960012 писал(а):

Да, всё окей, можно и осилить Постникова. Но реально читатели не мучаются с вопросом "что же я делаю?".

Я мучился :) И большую часть времени, проведённую за "привыканием к технике", за которой сразу не следовал разбор "как надо" считаю потраченной впустую. "Знание", основанное на привычке, так хрупко, недолговечно и мелко.

Munin в сообщении #960012 писал(а):

Я думаю, что в этой иерархии первый акцент - не на wording-е определений, а на тех понятиях, которые вынесены в определения, и которые полагаются центральными объектами теории. Как я уже говорил в других темах, идея понятия первичнее определения.

Конечно. Но правила счёта назвать идеей никак нельзя -- это нижний уровень.

Впрочем, мы сейчас о вкусовщине, в некотором смысле. Для чтения физической литературы действительно техника первична. И если получается овладеть ей, не углубляясь в математические тонкости, -- замечательно.

Тут, возможно, вот ещё что. Мы же мыслим не самими определениями, а, что я называю, моделирующими объектами: яблоками для натуральных чисел, разрезанными пирогами для дробей, векторами-стрелочками для линейных пространств, сечениями расслоений для пучков и т.п. И мы говорим себе: "вот теперь я понял, что это такое", когда удаётся придумать удачный моделирующий объект. И если человек предпочитает строить башню моделирущих объектов на физических примерах, то математическое изящество конструкции он будет ценить меньше, чем человек, для которого "изящество" -- не излишество, а необходимость чтобы думать эффективно.

[Munin]

vanger в сообщении #960386 писал(а):

Но смертельная доза "привычной доли" у разных людей разная.

Смертельная доза :-)

vanger в сообщении #960386 писал(а):

Например, посмотреть на комнату со стороны, с высоты: одно дело запомнить все повороты в лабиринте, а другое -- увидеть его с высоты.

Ну уж прям уж таки лабиринт! Не всё так плохо. Тензорная алгебра очень простая и понятная штука.

vanger в сообщении #960386 писал(а):

Висящий в воздухе объект: "тензор -- это набор чисел, преобразующихся так-то", -- это неприятно. Набор чисел -- это куча.

Ну, в принципе, где-то там рядом произносятся ещё такие слова, что тензор - это геометрический объект, что тензоры позволяют строить инвариантные физические теории... Да, это тоже повисает в воздухе, но в целом уже не так неуютно.

vanger в сообщении #960386 писал(а):

Я мучился :)

Ну, значит, вы принадлежите к счастливому меньшинству :-) Могу за вас только порадоваться. Я думаю, таких - процентов десять.

Но всё-таки, заметьте, я считаю оптимальной именно такую последовательность: сначала практика, умение считать и применять, и "мучения" - а потом уже теоретическая общность, полноценные определения и расширение сознания. Если идти наоборот, то получится человек, который за мощью определений не видит, как они применяются, не умеет сложить два и три, и к физике более не способен.

vanger в сообщении #960386 писал(а):

"Знание", основанное на привычке, так хрупко, недолговечно и мелко.

Это от объёма привычки зависит :-) Если семестр гонять в хвост и в гриву - ну через три года забудется. А если три года постоянно тем же заниматься - уже лет на десять хватит рефлексов и автоматизма, а потом слегка освежить - и скакун снова рвётся в бой.

vanger в сообщении #960386 писал(а):

Но правила счёта назвать идеей никак нельзя -- это нижний уровень.

Ну всё-таки, там не только правила счёта. Одно то, что понятия скаляра и вектора (и матрицы) допускают такое широкое обобщение, и с ним можно внятно работать, было бы лишь бы к чему это приложить, - идея весьма окрыляющая. И сразу в костерок можно сунуть тензор инерции в механике, мультипольное разложение в электростатике и волновой теории, а если рядом СТО пробегала - так вообще роскошь, вся электродинамика на блюдечке. Человек, который узнал, что электромагнитное поле - это один тензор, а не два вектора, уже никогда не назовёт их просто "правилами счёта".

vanger в сообщении #960386 писал(а):

Тут, возможно, вот ещё что. Мы же мыслим не самими определениями, а, что я называю, моделирующими объектами: яблоками для натуральных чисел, разрезанными пирогами для дробей, векторами-стрелочками для линейных пространств, сечениями расслоений для пучков и т.п.

Примерами, ага. Но тут тоже есть индивидуальные черты. Кому-то понятней взять несколько примеров, а от них - обобщающую идею, а кому-то - лучше сказать идею, а примеры они сами придумают, и "дикие примеры" и контрпримеры - тоже, и даже не будут их запоминать, а будут в центре внимания держать именно некий абстрактный платоновский образ определения.

vanger в сообщении #960386 писал(а):

И мы говорим себе: "вот теперь я понял, что это такое", когда удаётся придумать удачный моделирующий объект.

Либо когда научаемся с этим работать. Эта идея из ООП мне нравится: объект есть то, что с ним можно делать.

vanger в сообщении #960386 писал(а):

И если человек предпочитает строить башню моделирущих объектов на физических примерах, то математическое изящество конструкции он будет ценить меньше, чем человек, для которого "изящество" -- не излишество, а необходимость чтобы думать эффективно.

Пожалуй, соглашусь.