Гейзенберг не знал матричного умножения?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Беседы на околонаучные темы»

[kirsim]

В то время матрицы в физике не сильно были распространены. До появления квантовой механики их можно было встретить разве что в электродинамике Ми. Стандартный учебник по матрицам на немецком языке появился только в 1910 году (Bôcher, Einführung in die höhere Algebra). Поэтому неудивительно, что Гейзенберг мог быть "не в курсе".
Дирак, например, тоже довольно поздно узнал о существовании скобок Пуассона, прочитав учебник Уиттекера "Аналитическая динамика".

[Утундрий]

Цитата:

Во всяком случае, мне и в голову не приходило, что я должен пойти разыскать книгу этого Лебега, о которой говорил мне месье Сула, хотя сам и не держал никогда ее в руках. По моим представлениям, между тем, что могло содержаться в книге, и той работой, которую делал я, по-своему, чтобы удовлетворить свое любопытство не было ничего общего.

А. Гротендик о своём "переоткрытии" теории меры.

[Евгений Машеров]

Munin в сообщении #956779 писал(а):

Никакого. Как и в умножении чисел.

Вот если взять матрицы, имеющие какой-то физический смысл, то и в умножении появляется физический смысл.

Например, в электротехнике существует понятие четырёхполюсника (электрической схемы с двумя входами и двумя выходами). Линейный четырёхполюсник можно описать матрицей 2х2. Схема, полученная подключением одного четырёхполюсника на вход другого, эквивалентна четырёхполюснику, описывающая который матрица есть произведение двух матриц, описывающих два этих четырёхполюсника.
Вращение в пространстве можно описать ортогональными матрицами. Композиция двух вращений - произведение соответствующих матриц (тут, кстати, очень проста демонстрация некоммутативности - берёте две спичечных коробки, ставите в одинаковую позици, а потом поворачиваем на 90 градусов вокруг перпендикулярных осей, одних и тех же, но в разном порядке).
Можно описать экономический смысл матриц и их произведения и т.д.

[Евгений Машеров]

Цитата:

в 1926 году после создания матричной квантовой механики Макс Борн и Вернер Гейзенберг решили проконсультроваться у Гильберта, существует ли область математики, в которой применялся бы подобный формализм. Гильберт ответил им, что с похожими матрицами он встречался, когда разбирал вопросы существования решений дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Физикам показалось, что математик их не понял, и они решили не изучать далее этот вопрос.

http://www.pereplet.ru/pops/nikitin/new/shred1a.html

[Munin]

LOL

[Alexu007]

Евгений Машеров в сообщении #957271 писал(а):

Например, в электротехнике существует понятие четырёхполюсника (электрической схемы с двумя входами и двумя выходами). Линейный четырёхполюсник можно описать матрицей 2х2. Схема, полученная подключением одного четырёхполюсника на вход другого, эквивалентна четырёхполюснику, описывающая который матрица есть произведение двух матриц, описывающих два этих четырёхполюсника.
Вращение в пространстве можно описать ортогональными матрицами. Композиция двух вращений - произведение соответствующих матриц (тут, кстати, очень проста демонстрация некоммутативности - берёте две спичечных коробки, ставите в одинаковую позици, а потом поворачиваем на 90 градусов вокруг перпендикулярных осей, одних и тех же, но в разном порядке).
Можно описать экономический смысл матриц и их произведения и т.д.

Просто посмотрел в вики произведение матриц - не понял, почему оно осуществляется так, а не иначе:

С 11 = (А 11) × (В 11) + (А 12) × (В 21) = С 11
С 12 = (А 11) × (В 12) + (А 12) × (В 22) = С 12
С 21 = (А 21) × (В 11) + (А 22) × (В 21) = С 21
С 22 = (А 21) × (В 12) + (А 22) × (В 22) = С 22

Вариантов разных перестановок масса. Но раз выбраны именно эти - они имеют какой-то смысл?

[Munin]

Да, но не физический, а математический. Произведение матриц становится наиболее понятным, если посмотреть на линейные операторы над линейным пространством, и их свойства.

1. Линейный оператор превращает векторы в векторы. Это записывается матричной формулой $x'=Ax,$ где $x$ - вектор-столбец, а умножение - матричное умножение. В то же время, координаты векторов преобразуются по такому закону:

$$\left\{\begin{array}{l}x'_1=A_{11}x_1+\ldots+A_{1n}x_n\\\hdotsfor{1}\\x'_n=A_{n1}x_1+\ldots+A_{nn}x_n\\\end{array}\right.$$

Естественное расположение коэффициентов этой системы в виде "таблички" даёт закон умножения матрицы на вектор - то есть, матрицы $n\times n$ на матрицу $n\times 1.$

2. Если применить несколько подряд операторов, то произойдёт их композиция, как функций. С другой стороны, их коэффициенты, как в вышеприведённой системе уравнений, преобразуются по правилу подстановки одних уравнений в другие. И с третьей стороны, это можно записать в виде матричной формулы $x''=ABx=A(Bx)=(AB)x,$ где матрицы умножаются на вектор-столбец слева, совершая над ним действие как функция, но могут быть сначала перемножены между собой, и дать функцию-композицию. Результат вычислений один и тот же (он должен быть один и тот же). И чтобы этого достичь, произведению матриц даётся именно то определение, которое вы вычитали в Википедии. Это уже правило произведения матрицы $n\times n$ на матрицу $n\times n.$

3. Если посмотреть внимательнее, то никто не обязывает нас брать векторы из одного и того же пространства - это могут быть пространства разных размерностей. И тогда совершенно естественно возникают правила произведения матрицы $k\times m$ на матрицу $m\times n$ - лишь бы только две размерности этих матриц совпадали. Кстати, заодно убеждаемся, что зафиксированные в п. 1. правила умножения матрицы $n\times n$ на матрицу $n\times 1$ - тоже удовлетворяют этому частному случаю, когда последняя размерность равна 1.

Вот, примерно так.

[Deggial]

Alexu007, замечание за неоформление формул $\TeX$ом

[Евгений Машеров]

0. Это только один из способов введения матричного умножения. Можно, скажем, перемножать элементы почленно (произведение Адамара), можно получать блочную матрицу, каждый блок которой равен одной из матриц-сомножителей, умноженной на элемент другого сомножителя (произведение Кронекера). Использование того или иного определяется полезностью для определённой задачи. Самое часто оказывающееся полезным - обсуждаемое определение матричного умножения.
1. В дополнение к предлагаемым физическим интерпретациям давайте разглядим экономическую, она как-то приземлённее, но, может, именно из её рассмотрения станет ясно, отчего "строка на столбец, и всё сложить".
Итак, Вы теперь не интеллектуал-физик, а простой штабной писарь. И господин полковник спрашивает, не знаете ли Вы, как посчитать, сколько нужно хлеба, если в гарнизоне 5238 душ, а каждому положено $2 \frac 7 8$ фунта? Перемножить надо, Вашество! - браво рапортуете Вы, и обрадованный г-н полковник приказывает посчитать, раз Вы уже знаете главное: что нужно умножение - сколько надо мяса, вина, капусты, картошки, соли, перца и протчего на каждую часть в гарнизоне, учитывая, что это хлеба всем поровну, а упомянутого довольствия по-разному положено солдатам строевым и нестроевым, матросам надводного флота, подводного флота и береговым (и не забыть о водолазах!), офицерам по чинам, вольнонаёмным и иждивенцам, и в каждой части их разное число.
Вы находите две таблицы. Первая - нормы выдачи, строки соответствуют выдаваемым товарам, столбцы - категориям воинов, на пересечении - сколько этого данной особе положено. Вторая - численность в частях по категориям, строки - категории военнослужащих, столбцы - части, на пересечении - сколько лиц данной категории числится в данной части. Чтобы получить, сколько данного товара надо на всех данной категории в данной части - умножаем числа из таблиц, но нам надо посчитать этот товар для всей части, суммируя по всем категориям. То есть идём по строке первой таблицы и одновременно по столбцу второй, складывая все произведения первого элемента на первый, второго на второй и т.п. Результат записываем в третью таблицу, он будет равен потребности в данном довольствии для данной части. Перебирая все категории товаров и все части, заполняем элементы этой третьей таблицы. И когда, к утру, слыша цокот сапог полковника, Вы заканчиваете расчёт, Вас посещает озарение - это не просто расчёт третьей таблицы по первым двум, это умножение таблиц, и в частном случае таблиц 1х1 это и есть обыкновенное умножение.

[bin]

Нашел свидетельство самого Гейзенберга:
Гейзенберг Вернер - Шаги за горизонт, Прогресс, 1987:

Цитата:

Я заменил пространственные координаты таблицей амплитуд, которая предположительно должна была соответствовать классическому ряду Фурье, и написал для нее классическое уравнение движения, причем в нелинейном члене, выражавшем ангармоничность, применил умножение амплитудных рядов, оправдавшее себя в дисперсионной теории. Лишь гораздо позднее я узнал от Борна, что речь тут шла просто о матричном умножении — разделе математики, остававшемся мне до того времени неизвестным. Меня беспокоило то, что при такого рода умножении рядов $a \times b$ не обязательно оказывалось равным $b \times a$. При таком уравнении движения таблицы, выражавшие пространственное местоположение, не достигали еще однозначной определенности.

Heisenberg W Tradition in der Wissenschaft. Reden und Aufstze. Munchen, 1977, S. 43–60.
Die Anfange der Quantenmechanik in Gottingen. R. Piper und Co., Vcrlaq, Munchen 1977.

(В электронной копии, откуда эта цитата, надстрочные символы немецкого не отобразились.)

[Munin]

Если интересно пошире посмотреть, то есть отличная книга

Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. (Наука, 1985)

Очень рекомендую.

[bin]

Спасибо, посмотрю!