Экскюзэ муа, я ничего не понимаю. Давайте для начала разберемся с многоугольником на плоскости. Как задан многоугольник? Как задана окружность, в которую он вписан/не вписан? Вы настаиваете на неаналитическом критерии, значит все это задано не координатами точек и не уравнениями, верно?
Если все это задано просто чертежом на листе бумаги, например. Тогда вот классный критерий: смотрим глазами, лежат ли все вершины многоугольника на данной окружности. Если да, то он в нее вписан, если нет, то нет. Критерий легко обобщается на любое количество измерений!
Действительно не понимаете. Пусть мы имеем (даже планиметрическую) задачу, в которой известны
определённые соотношения между сторонами и углами, в ней следует доказать то, что вытекает из вписанности определённого многоугольника. Ясно, что вводить систему координат в подобных ситуациях затруднительно по сравнению со сведением этих фактов к признаку вписанного четырёхугольника (во всяком случае мне удобней). Аналогично, пусть в пространстве задан многогранник, обладающий рядом свойств, как узнать, можно ли его вписать в сферу (существует ли
общий подход)? Тетраэдр, правильную призму, правильную пирамиду, как известно, вписать можно, а что касается других видов, каким образом тут быть?
Определенные соотношения - это какие? Пример можете привести? Гораздо проще говорить по теме будет.