Как узнать инертность матрицы

[timon]

Известны ли кому методы нахождения инерции (количества положительных, нулевых и отрицательных собственных значений) матрицы, без непостредственного решения задачи на собственные значения?

[Echo-Off]

В Богачёве такое было, в методе бисекции. А именно:

Теорема. Пусть $A\in M_n(\mathbb{R})$, $A = A^*$, $A = (a_{ij})$ - невырожденная матрица,

$$A_k = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \dots & a_{kk} \end{pmatrix} \in M_k(\mathbb{R})$$

,
$\delta_k = \det A_k$. Тогда количество отрицательных собственных значений матрицы $A$ равно $S(A)$ - числу перемен знаков в последовательности $1,\,\delta_1,\,\dots,\,\delta_n$.

Небольшая модификация теоремы позволяет узнать число положительных значений.