Пескин и Шредер:одна формула про эволюцию состояний

[Ascold]

На стр. 100 в формуле $e^{-iHT}|0>=\sum e^{-iE_nT}|n><n|0>$ экспонента в левой части служит для перевода основного свободного состояния$|0>$ из гейзенберговского представления в шрёдингеровское или имеется ввиду что-то иное?

[propagator]

Ascold в сообщении #958909 писал(а):

На стр. 100

какого издания?
Здесь просто вставили единичку $\displaymath \sum_{n} | n \rangle \langle n|$ и воспользовались $\hat{H} | n \rangle = E_{n} | n \rangle$.

[Ascold]

Цитата:

какого издания?

2001 год, изд-во "Регулярная и хаотическая динамика".

Цитата:

Здесь просто вставили единичку $\displaymath \sum_{n} | n \rangle \langle n|$ и воспользовались $\hat{H} | n \rangle = E_{n} | n \rangle$.

Т.е. логика такова:берём оператор $e^{-iHT}=1-iHT-H^2T^2+...$ и действуем им на основное состояние поля $|0>$. Отсюда, ввиду $\hat{H} | n \rangle = E_{n} | n \rangle$, получается сумма в правой части?

[Munin]

Ascold в сообщении #959088 писал(а):

2001 год, изд-во "Регулярная и хаотическая динамика".

Чем уточнять издание, просто лучше привыкнуть давать ссылки на инвариантные ориентиры: номер главы, параграфа, подпункта; номер формулы. Они "плывут", только если книгу перекомпонует автор, а не если при переиздании поменялась вёрстка.

[Ascold]

Глава четвёртая, параграф 2, формула, идущая сразу за (4.26). Но я с этой формулой уже разобрался, благодаря propagator:
Имея ввиду $H|n>=E_n|n>$, развёртывая $e^{-iHT}$, получаем
$e^{-iHT}|0>=e^{-iHT}\sum_n|n><n||0>=\sum_ne^{-iHT}|n><n|0>$.
Однако осталась ещё одна неясность в этом параграфе - как следует из диагонализации Клейн-Гордоновского гамильтониана $H_0$ формула (4.15)? В книжках попроще в этой ситуации принимают $t_0=0$ и полевой оператор в представлении взаимодействия получает экспоненциальный множитель, а здесь как-то не так это делается.

[Cos(x-pi/2)]

Ascold в сообщении #959106 писал(а):

Однако осталась ещё одна неясность в этом параграфе - как следует из диагонализации Клейн-Гордоновского гамильтониана $H_0$ формула (4.15)?

Там ведь дана ссылка на главу 2. Смотрите вывод формул (2.46) - в них гамильтониан свободного поля обозначен пока ещё без нолика, и присутствует время $t$ вместо $t-t_0,$ но это не принципиально, т.к. можно (2.46) записать с $H_0$ и с $t-t_0.$

[Ascold]

Я знаю, как выглядит это дело для свободного поля. Непонятен смысл фразы перед формулой (4.15): "Так как мы можем диагонализовать $H_0$, легко выписать $\varphi$ явно".
Мне кажется, что (4,15) как первое приближение вытекает из (4,14) безо всяких преобразований оператора $H_0$. Чего я не понимаю?

[Cos(x-pi/2)]

Ascold в сообщении #959181 писал(а):

Чего я не понимаю?

Ну, это Вам виднее :-)

Со своей стороны могу предположить, например, что Вы не замечаете различия между $\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}$ и $-p \cdot x = -E_{\mathbf{p}}x^0 + \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}$ в показателях экспонент; а именно этим отличается (4.15) от выражения в самой верхней формуле на стр. 98.

Энергия частицы $E_{\mathbf{p}}={\omega}_{\mathbf{p}}=\sqrt{|\mathbf{p}|^2+m^2}$ здесь появляется именно потому, что невозмущённый гамильтониан $H_0$ можно "диагонализовать", т.е. - записать в виде (2.31) (тогда в базисе $|n \rangle$ его недиагональные матричные элементы равны нулю), и затем пользуясь коммутаторами (2.32) придти к тождествам (2.46), содержащим в экспонентах выражение $E_{\mathbf{p}}$, и с их помощью придти к (2.47). Аналогично получается и (4.15) "в представлении взаимодействия". С гамильтонианом же $H$, т.е. в представлении Гейзенберга, такой фокус не проходит, и далее в книге как раз рассказывается, как с этим жить дальше. Такие сюжеты рекомендуется не просто читать, а выводить всё самостоятельно, последовательно, с ручкой и бумагой.

С учётом сказанного про появление $E_{\mathbf{p}}$, да, конечно, - (4.15) прямо следует из (4.14), притом без всяких приближений.

[Ascold]

Цитата:

что невозмущённый гамильтониан $H_0$ можно "диагонализовать", т.е. - записать в виде (2.31) (тогда в базисе $|n \rangle$

Спасибо, про это я и спрашивал(не подумал на тему того, что в матричной форме гамильтониан осциллятора (2,31) диагонален).

Цитата:

Такие сюжеты рекомендуется не просто читать, а выводить всё самостоятельно, последовательно, с ручкой и бумагой.

Это само собой, правда именно в КТП я почему-то чаще всего застреваю