Униформизация

[PSP]

Меня сейчас интересует вопрос, можно ли униформизировать следующую кривую:

$$y^2x^4-x^2y^4D_1+y^2x^2D_2+y^2D_3-x^2D_4=0$$

,где

$$D_1...D_4=const$$

?
Насколько я понимаю, из-того, что это выражение степени 4, то его можно униформизировать в эллиптических функциях (желательно в эллиптических функциях Якоби)?
Как получить конкретный результат?

[Алексей К.]

Быть может, сначала понизить порядок? Дальше две книжки полистать ---
[1] И. Ньютон, Перечисление кривых третьего порядка. 1704.
[2] (Авторов не помню, вечером найду ссылку в книге Шикина (она по-прежнему со мной), поправлю). Справочник по кривым третьего порядка. Эта наверняка содержит и инфу от Ньютона. Кажется, об униформизации я впервые узнал именно из этой книги.

Добавлено спустя 7 минут 41 секунду:

PSP писал(а):

$$y^2x^4-x^2y^4D_1+y^2x^2D_2+y^2D_3-x^2D_4=0$$

,где

$$D_1...D_4=const$$

?

Ну и следовало бы выразиться яснее. Знак минус перед двумя членами следует понимать как $D_{1,4}>0$? И что тогда насчёт $D_{2,3}$?

Добавлено после кофе-брейка:

Осознал, что это не тот случай, когда возможность понижения порядка радует глаз...

[PSP]

Алексей К. писал(а):

Осознал, что это не тот случай, когда возможность понижения порядка радует глаз...

Вот именно.Сия задача имеет определённый физический смысл, так что и порядок, и знаки имеют своё значение...Я же физик..(Вроде гадкого утёнка, как в сказке Андерсена... )

[PSP]

Известна униформизация из алгебраической геометрии. Суть проблемы в поиске параметрического задания алгебраических многообразий. Классический пример: многообразие $x^2+y^2=1$ униформизируется (параметризуется) так: $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y=\frac{2t}{1+t^2}$.
Есть ли алгоритмы униформизации алг. выражений любой стпени или даже мероморфных функций?
Такие выражения параметризуются(униформизируются) одним параметром, или есть ситуации, когда нужны два параметра(для многомерных обьектов)?
Хотя бы можно ли униформизировать следующую кривую:

$$y^2x^4-x^2y^4D_1+y^2x^2D_2+y^2D_3-x^2D_4=0$$

,где

$$D_1...D_4=const$$

?

[Алексей К.]

Наверное, мой второй ответ Вас тоже не сильно порадует.

Когда-то (давно) мне захотелось отпараметризовать одну кривульку, и я нашёл пакет algcurves для Maple. Потом обнаружилось, что кривая ошибочна, и я забросил пакет и не освоил его. Вот следы

# $Source: /u/maple/research/lib/algcurves/src/RCS/parametrization,v $

macro(
   parametrization=`algcurves/parametrization`,
   find_rat_point=`algcurves/find_rat_point`
):

# Input: an irreducible algebraic curve f in x and y with genus 0.
# Output: a parametrization [X(s),Y(s)]. Here X(s) and Y(s) are rational
# functions in s, giving a bijective morphims from the projective line to
# the algebraic curve f.
parametrization:=proc(F,x,y,s)
   local f,t,p;
   options remember, 
       `Copyright (c) 1996 Waterloo Maple Inc. All rights reserved.`;

Надо полагать, что такие вещи сделаны и для других пакетов, и, возможно, сильно продвинулись с тех давних пор.

А Вы попробовали сами сделать это методом типа неопределённых коэффициентов

$$x(t)=\dfrac{t\cdot p_5(t;a_0,\ldots,a_5)}{w_6(t;c_0,\ldots,c_6)},\qquad y(t)=\dfrac{t\cdot q_5(t;a_0,\ldots,a_5)}{w_6(t;c_0,\ldots,c_6)}\quad ?$$

.
Числители так записаны, что $x(0)=0,\quad y(0)=0$, поскольку у Вас $F(0,0)=0$).
У Вашей кривой очень много нулевых коэффициентов, что даёт надежду --- вдруг бы чего и родилось?
Да, громоздко, и Вы этого не любите, но Мапла без всяких пакетов быстро покажет, есть надежда или нет.

[PSP]

Мне известно из теории(Форд "Автоморфные функции"),что кривые 2-й степени униформизируются рациональными или тригонометрическими функциями, кривые 3-й и 4-ой степени униформизируются эллиптическими функциями,а кривые более высоких степеней униформизируются гиперэллиптическими функциями.Поэтому мне неясно, как методом типа неопределённых коэффициентов получить униформизцию эллиптическими функциями..

[Алексей К.]

Во-первых, Ваша кривая 6-го порядка.
Во-вторых, подозреваю (очевидно, от Обобщённых Винтовых Линий дело идёт), что мы оба в этом деле чайники (т.е. про себя знаю, про Вас подозреваю) и сочинение на тему "Различие между параметризацией и униформизацией" не напишем...
Очевидно, исключая $t$, из двух рациональностей $x=\frac{p(t)}{w(t)}$, $y=\frac{q(t)}{w(t)}$, где $p,q,w$ --- полиномы спепени $n$, мы получим алгебраическую кривую $n$-го порядка $F(x,y)=0$. Говорить после этого, что она параметризуется только тригипербэллипскатными функциями как-то не того... И потому неопределённые коэффициенты c рац. или полином. параметризацией я бы попробовал, если бы у меня горело... Наверное, в очередной раз бы фиаску получил бы, но а вдруг?

Возможно, Вы имели в виду (или Форд имел в виду), что кривые такой-то степени гарантированно униформизуются/параметризуются такими-то функциями --- не знаю. Но до сих пор я встречал обсуждение вопроса униформизации только в отношении рациональных функций. И --- в книгах 30-летней давности --- проблема униформизации рассматривалась как недорёшанная.

Где Вы все, алгебраические геометры??? Ой, да и мне спатки пора....

[PSP]

Алексей К. писал(а):

Возможно, Вы имели в виду (или Форд имел в виду), что кривые такой-то степени гарантированно униформизуются/параметризуются такими-то функциями

Да,(Форд "Автоморфные функции",Неванлинна"Униформизация" и мат.энциклопедии),указывают на это понимание.

[Алексей К.]

Замечу (быть может, это сгодится в Ваших изысканиях), что подстановками $x=u\sqrt[4]{D_3}\quad y=v\sqrt[4]{\dfrac{D_4}{D_1}}$, Ваша кривая приводится к виду

$$A\left(u\pm\dfrac{1}{u}\right)^2-B\left(v\pm\dfrac{1}{v}\right)^2=C,$$

где $A=\sqrt{D_3}$, $B=\sqrt{D_1D_4}$, $C$ зависит от выбора знаков $\pm$.

[PSP]

Алексей К. писал(а):

Замечу (быть может, это сгодится в Ваших изысканиях), что подстановками $x=u\sqrt[4]{D_3}\quad y=\sqrt[4]{\dfrac{D_4}{D_1}}$, Ваша кривая приводится к виду

$$A\left(u\pm\dfrac{1}{u}\right)^2-B\left(v\pm\dfrac{1}{v}\right)^2=C,$$

где $A=\sqrt{D_3}$, $B=\sqrt{D_1D_4}$, $C$ зависит от выбора знаков $\pm$.

Алексей К.,прекрасно!
Этим результатом можно считать, что униформизация сей кривой решена!
Интересна ещё зависимость от выбора знаков $\pm$....
Да,нет ли в $ y=\sqrt[4]{\dfrac{D_4}{D_1}}$ ошибки?

[Алексей К.]

PSP писал(а):

Да,нет ли в $ y=\sqrt[4]{\dfrac{D_4}{D_1}}$ ошибки?

Дело было среди ночи,
Я, похоже, был не очень...
Но с утра я всё поправил ---
Букву $v$ туда приставил.

[PSP]

Алексей К. писал(а):

PSP писал(а):

Да,нет ли в $ y=\sqrt[4]{\dfrac{D_4}{D_1}}$ ошибки?

Дело было среди ночи,
Я, похоже, был не очень...
Но с утра я всё поправил ---
Букву $v$ туда приставил.

Да, Вы поэт...Может быть, напишете какую либо математическую поэму? Вроде Омара Хайяма?