Shimmy

[Oleg Zubelevich]

там настоящая неустойчивость: начальные данные сколь угодно близки, а решения расходятся далеко. это сразу из законов Кеплера следует.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #958287 писал(а):

Иногда достаточно спросить устойчиво ли по Ляпунову движение по эллипсам в задаче Кеплера.

А что это значит? Где там положение равновесия?

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #958383 писал(а):

там настоящая неустойчивость

Я на эту тему (про Кеплера) как-то ругался. В Коткине-Серпо (задачник такой, хороший для физиков-не механиков) есть подобная задача, и ответ - устойчиво, поскольку радиус-вектор слабо меняется.

[Утундрий]

amon в сообщении #958386 писал(а):

ответ - устойчиво, поскольку радиус-вектор слабо меняется.

Ну, очевидно же, что авторы имели в виду устойчивость в смысле изменения радиус-вектора!

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #958385 писал(а):

А что это значит? Где там положение равновесия?

не понял вопрос

-- Чт янв 08, 2015 01:44:06 --

на всякий случай.
Определение. Решение $y(t)$ системы $\dot x=f(t,x)$ называется устойчивым по Ляпунову если для любого $\epsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что все решения $x(t)$ для которых верно неравенство $\|x(0)-y(0)\|<\delta$ удовлетворяют следующим двум условиям
1) они бесконечно продолжаеммы вправо, и
2) $\|x(t)-y(t)\|<\epsilon,\quad \forall t>0$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #958388 писал(а):

не понял вопрос

Я думал, что устойчивость по Ляпунову определяется в предположении, что у системы есть неподвижная точка. Где она в данном случае?

-- Ср, 07 янв 2015 15:44:58 --

Oleg Zubelevich в сообщении #958388 писал(а):

Определение.

Теперь понял.

-- Ср, 07 янв 2015 16:05:32 --

На самом деле не очень понял. Зачем это вообще нужно? Обычно устойчивость по Ляпунову определяется только для $y(t)=\mathrm{const}$, потому что глобальная близость к данному решению — что-то, чего можно ожидать только в очень специальных случаях.
Ваше определение я нашел с трудом. Много Вы знаете примеров периодических решений с периодом, не зависящим от начальных данных?

По-моему, более естественным определением будет существование перепараметризации времени, после которой траектории будут близки. И по такому определению задача Кеплера устойчива.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #958389 писал(а):

На самом деле не очень понял. Зачем это вообще нужно? Обычно устойчивость по Ляпунову определяется только для $y(t)=\mathrm{const}$, потому что глобальная близость к данному решению — что-то, чего можно ожидать только в очень специальных случаях.
Ваше определение я нашел с трудом. Много Вы знаете примеров периодических решений с периодом, не зависящим от начальных данных?

Ваше мнение я обсуждать не буду, приведенное определение содержится в учебнике Демидовича по теории устойчивости, у Кодингтона Левинсона и т.д.

g______d в сообщении #958389 писал(а):

По-моему, более естественным определением будет существование перепараметризации времени, после которой траектории будут близки.

это похоже на определение орбитальной устойчивости. Орбитальная устойчивость в данном случае есть.

g______d в сообщении #958389 писал(а):

И по такому определению задача Кеплера устойчива.

там еще и по части переменных есть устойчивость в смысле теоремы Рауса-Сальватори.
Так, что в смысле изучения разных типов устойчивости задача хорошая.

[Oleg Zubelevich]

amon в сообщении #958386 писал(а):

Я на эту тему (про Кеплера) как-то ругался. В Коткине-Серпо (задачник такой, хороший для физиков-не механиков) есть подобная задача, и ответ - устойчиво, поскольку радиус-вектор слабо меняется.

да, эти вопросы тонкие достаточно и требуют аккуратности. Вот например, еще. В задаче Кеплера решение отвечающее круговой орбите устойчиво по Ляпунову на поверхности уровня интеграла кинетического момента, но неустойчиво в обычном смысле.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #958383 писал(а):

а решения расходятся далеко. это сразу из законов Кеплера следует.

Я протупил. Забыл про период. Да, конечно.

Oleg Zubelevich в сообщении #958400 писал(а):

это похоже на определение орбитальной устойчивости. Орбитальная устойчивость в данном случае есть.

Дайте определение, пожалуйста.

[2+2=4]

А какие у Келдыша есть фундаментальные работы кроме прикладных?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $y(t),\quad t\ge 0$ решение системы $\dot x=f(x),\quad x\in\mathbb{R}^m$. И $L=\{y(t)\in\mathbb{R}^m\mid t\ge 0\}$ -- соответствующая траектория т.е. не функция времени, а множество точек в $\mathbb{R}^m$.

Решение $y(t)$ называется орбитально устойчивым если для любого $\epsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что если решение $x(t)$ таково, что $\|x(0)-y(0)\|<\delta$ то $x(t)$ бесконечно продолжаемо вправо и

$$d(x(t),L)=\inf_{z\in L}\|z-x(t)\|<\epsilon,\quad \forall t>0.$$

[Munin]

То есть, правильно я понимаю, что траектория, плотно намотанная на тор (и других степеней свободы нет), орбитально устойчива?

[Oleg Zubelevich]

да

[Munin]

Извращение какое :-)

[Oleg Zubelevich]

придумайте лучше