Упругое столкновение КдФ-солитона со стенкой

[no_name]

Добрый вечер.

Рассмотрим например простейший случай уединённой волны:

$U(x,t)=\frac{2\kappa^2}{\ch^2\kappa\xi}$
где $\xi=x-Vt-x_0$

Такое решение можно получить если решить ур-е КдФ $U_t-6UU_x+U_{xxx}=0$, методом обратной задачи рассеяния. Функции $U$ предполагаются такими, что сама функция и $n$ первых производных спадают достаточно быстро.

Если я хочу рассмотреть ситуацию когда такой солитон врезается в стенку какой-то высоты, конечной или бесконечной. Не понятно как действовать в этой ситуации, и можно ли в такой ситуации решать задачу методом МОЗР?

Мне не понятно даже как поставить граничные условия, точнее как учесть в них стенку, например для случая когда солитон находится в бесконечной яме и задана его форма в момент $t=0$, что будет с функцией $U(x,t)$ на границе? Она не тождественный ноль там. Скорость солитона $V=4\kappa$ должна на границе обращаться в ноль и менять знак, и совершенно не понятно как это задать. Потому что не понятно как вообще ввести зависимость от времени в скорость солитона, ведь $\kappa$ в задаче выше это просто ноль соответствующего коэффициента рассеяния.

Если поступить, как поступают в атомной физике и записать, что наше решение $U$ слева от стенки это просто сумма налетающей $U_i$ и отраженной $U_r$ волн $U=U_i+U_r$ и записать, условие, что $U_i(\frac{a}{2})=U_r(\frac{a}{2})$, где $\frac{a}{2}$ - координата стенки, как раз получим то, что $V(\frac{a}{2})=0$. И всё равно не ясно как написать уравнения для такой задачи. По-сути я просто хочу смоделировать процесс, как например, в этом видео:

http://www.youtube.com/watch?v=wEbYELtGZwI

Где-нибудь есть эта задача разобранная? Я не смог найти ничего даже отдалённо похожего на разбор подобной задачи ни в одном учебнике по солитонам и интегрируемым системам (хотя в общем-то все эти учебники почему-то бедны на задачи).

[Munin]

[ А чем гранусловие с $u_x=0$ не нравится? И решение там получается методом зеркального изображения, совпадающее с двухсолитонным решением, когда они из двух бесконечностей друг на друга налетают и отскакивают. (Аналогично строятся и многосолитонные решения.) ]

Это была глупость, не считается.

[Red_Herring]

Munin
Ну не гуляют солитоны налево.

no_name
Гугл Ваш друг. За качество того, что он выдал ручаться не могу
http://www.google.com/search?q=korteweg+boundary+value

[Munin]

Red_Herring в сообщении #958427 писал(а):

Ну не гуляют солитоны налево.

О
А в каком уравнении гуляют?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #958537 писал(а):

А в каком уравнении гуляют?

Если про КдФ—токо направо.

Но если гуглить про отражение—сразу выскакивает модифицированный КдФ (и их там много) и там наверно двустороннее движение.

Но тут и другая проблема: КдФ по $x$ имеет третий порядок и сколько граничных условий надо (0,1,2,3). Если существует какая-то симметрия с отражением по $x$ (но не по $t$) то получается 3/2 (??!!)

[Munin]

Red_Herring в сообщении #958544 писал(а):

Если про КдФ—токо направо.

Великая троица солитонных уравнений: КдФ, $\sin$-Гордон, а кто же третье...

[no_name]

Munin в сообщении #958375 писал(а):

И решение там получается методом зеркального изображения, совпадающее с двухсолитонным решением, когда они из двух бесконечностей друг на друга налетают и отскакивают. (Аналогично строятся и многосолитонные решения.)

Не понятно как применять метод зеркальных изображений для КдФ, но действительно, если просто сталкивать симметрично от стенки два солитона, получается как будто бы он отталкивается от стенки. То есть вот:

http://cs423719.vk.me/u69726044/docs/a02ed5d458fe/Example.gif

Red_Herring в сообщении #958427 писал(а):

Ну не гуляют солитоны налево.

Тут тоже не понятно, скорость не может быть отрицательной, так как скорость это $V=4\kappa^2$, а $\kappa>0$, потому что это нули коэффициента рассеяния, которые лежат в верхней части комплексной плоскости,

но если я просто напишу такую функцию:
$U_L(x,t)=\frac{2\kappa^2}{\ch^2(\kappa(x-V(-t)-x_0))}$
у меня, по-сути получается солитон двигающийся налево, но это произошло только из-за замены $t\rightarrow -t$. И не понятно может ли это являться решением уравнения КдФ. У меня странная проблема при попытке это проверить, она заключается в том, что если я подставляю обычное решение без замены $t\rightarrow -t$, напрямую в уравнение, всё равно не получается ноль, производные брал в математике, так что похоже, что где-то я что-то не понимаю. Должен же ноль тождественный получиться при такой подстановке?

Red_Herring в сообщении #958427 писал(а):

Гугл Ваш друг. За качество того, что он выдал ручаться не могу

Да, очень много статей на похожие темы, но неужели эта задача никак просто не решается? Выше же мы по-сути угадали как можно описать процесс, хотелось бы просто понять как это строго получить методом МОЗР или ещё как.

Munin в сообщении #958625 писал(а):

Великая троица солитонных уравнений: КдФ, $\sin$-Гордон, а кто же третье..

Ещё нелинейный Шрёдингер, про его решения не знаю, у уравнения синус-Гордона, насколько я понимаю есть солитонные решения двигающиеся как направо, так и налево (кинки и антикинки).

[Munin]

Кинки не считаются, они слишком не похожи на уединённые волны КдФ, а вот бризеры - более похожи.

[nenefertiti]

no_name в сообщении #958700 писал(а):

но если я просто напишу такую функцию:
$U_L(x,t)=\frac{2\kappa^2}{\ch^2(\kappa(x-V(-t)-x_0))}$
у меня, по-сути получается солитон двигающийся налево, но это произошло только из-за замены $t\rightarrow -t$. И не понятно может ли это являться решением уравнения КдФ. У меня странная проблема при попытке это проверить, она заключается в том, что если я подставляю обычное решение без замены $t\rightarrow -t$, напрямую в уравнение, всё равно не получается ноль, производные брал в математике, так что похоже, что где-то я что-то не понимаю. Должен же ноль тождественный получиться при такой подстановке?

Нет, не должен. При такой замене получается солитон для другого уравнения:
$-U_t-6UU_x+U_{xxx}=0$,
(впереди появился минус).

-- 12.01.2015, 01:16 --

no_name в сообщении #958334 писал(а):

Если я хочу рассмотреть ситуацию когда такой солитон врезается в стенку какой-то высоты, конечной или бесконечной. Не понятно как действовать в этой ситуации, и можно ли в такой ситуации решать задачу методом МОЗР?

Мне не понятно даже как поставить граничные условия

Вряд ли. МОЗР предназначен для задач на всей оси. Другие случаи (например, периодическая задача) требует страшных усложнений и без того неслабого метода.
Задачи на полуоси рассматривались, но только в очень частных случаях краевых задач. При этом задача на полуоси - это совсем другая задача, которая далеко не всегда сводится к задаче на всей оси.

А вообще, вы знаете какое-либо уравнение, в котором есть решение, описывающее отражение обычной волны?