Как пользоваться уравнениями Максвелла?

[Omega]

Всем доброго времени суток!Мне крайне интересно изучение классической электродинамики...
Прочитав теорию, хотелось бы научиться использовать её на практике. Предположим стоит следующая задача:

"В вакууме имеется цилиндрический проводник радиуса $a$ из материала с проводимостью $\sigma$ и магнитной проницаемостью близкой к единице.
Проводник представляет собой бесконечный длинный прямой провод по которому течёт ток по закону: $J=J_{0}{\rm e}^{-kt}$.
Необходимо определить конфигурацию магнитного поле во всём пространстве в каждый момент времени, а также определить количество тепла (на единицу длины) , выделившегося в проводнике за всё время "

Начну, пожалуй с самого простого, - магнитного поля в начальный момент времени. Очевидно, что:

$$\begin{cases} \mathbf{B}=\dfrac{2J_{0}r}{ca^{2}}\vec{e}_{\alpha}; \,\,\, R\leqslant a \\ \\ \mathbf{B}=\dfrac{2J_{0}}{cr}\vec{e}_{\alpha}; \,\,\, R \geqslant a \end{cases}$$

Итак, время пошло - и тут начинается то самое веселье, с которым мне пришлось столкнуться на бумаге!

Для начала определим индукцию магнитного поля внутри проводника:

$$rot\mathbf{B}=\dfrac{4\pi}{c}\vec{j}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

Здесь, как я понимаю, $\vec{E}$ - электрическое поле, которое порождает первоначальный ток. То есть, соответственно, учитывая, что $\vec{j}=\dfrac{J_{0}{\rm e}^{-kt}}{\pi a^{2}}\vec{e}_{z}$ и $\vec{E}=\vec{j}/\sigma$, а также, что задача обладает осевой симметрией (отсюда по крайней мере следует, что у $\mathbf{B}$ есть только азимутальная компонента: $\mathbf{B}=B_{\alpha}(r)\vec{e}_{\alpha}$), получаем:

$$\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rB_{\alpha})}{\partial r}={\frac {{}J_{{0}} \left( 4\,\pi \,\sigma-k \right) }{\sigma\,c\,\pi \,{a}^{2}}}{\rm e}^{-kt} \Rightarrow \mathbf{B}={\frac {{}J_{{0}} \left( 4\,\pi \,\sigma-k \right)r }{2\sigma\,c\,\pi \,{a}^{2}}}{\rm e}^{-kt} \vec{e}_{\alpha}$$

Никак не пойму - если здесь подставить $t=0$ - не сходиться с первоначальным полем, появляется некоторый скачок. Всё ли я верно вообще делаю? Остановлюсь пока что в приведении выкладок: подожду Ваших комментариев, уважаемые форумчане! Заранее спасибо за помощь...

[Munin]

Я думаю, что задача задана в рамках квазистационарного приближения, где в уравнении $\operatorname{rot}\mathbf{B}=\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ можно пренебречь вторым слагаемым - поскольку процессы медленные и производные по времени пренебрежимо малы.

Если бы это было не так, то в задаче было бы недостаточно начальных условий: надо было бы задать самое меньшее ещё и электромагнитное поле во всём пространстве в начальный момент времени. И решение содержало бы расходящиеся от провода волны.

[Omega]

Munin, спасибо. А Вы имеете в виду начальные условия для того, чтобы что выполнилось: какие-то определённые граничные условия? Разве для этого недостаточно имеющихся данных?

[Munin]

Ну вообще, для решения полных уравнений Максвелла, начальных и граничных данных целый мешок надо брать.

[Omega]

То есть я так полагаю, знания граничных условий для $H_{\tau}, E_{\tau},E_{n}, B_{n}$, того что внутри провода ни у какого поля нет особенностей, того, что на бесконечном расстоянии от провода магнитная индукция ноль - не достаточно? Что же ещё нужно ,я честно не знаю даже.

[Sicker]

Ну, в качестве начальных данных можно взять распределение электррического и магнитного полей во всем пространстве в начальный момент времени

[Munin]

Хорошее предложение.

[Omega]

То есть всё-таки не достаточно...Ладно, продолжим. Пренебрегая токами смещения, получаем:

$$\mathbf{B}={\frac {{}2J_{{0}} {\rm e}^{-kt} }{\pi \,c\,{a}^{2}}}\vec{e}_{\alpha}$$

Но вопрос остаётся, даже с токами смещения дифф.ур., что решено выше не верно?

[Munin]

Именно с ними - неверно.

-- 07.01.2015 22:17:05 --

Физически дело обстоит как. Вот есть какая-то неподвижная конфигурация зарядов, магнитов, токов. Вокруг неё - постепенно образуется неподвижное (стационарное) поле. Все нестационарности устаканиваются, и разлетаются волнами прочь. И тут кто-то щёлкает рубильником. Бац - ток меняется. Что от этого происходит? Сразу меняется поле там, где проходит этот ток. В других местах - не сразу, дотуда должна дойти ещё волна. Потом эта волна проходит всё дальше, дальше, дальше... Там, где проходит ток - там он задаётся функцией $f(t).$ А в более отдалённых точках пространства - уже какой-то функцией $f(t-r/c)$ с задержкой по времени. И дальше эта волна уходит на бесконечность.

Вот так выглядело бы решение полной системы уравнений Максвелла, без приближений. Но боюсь, для этого много ещё чего нужно задать: электрическое поле, порождающее ток, и как его изменения распространяются вдоль провода, и т. д.

Кстати, вот объясните, вы сейчас какой курс проходите? "Общая физика"? "Уравнения математической физики"? "Теоретическая физика"? А то я не знаю, что надо рассказывать, а на что можно опираться как на уже известное.

[Omega]

Оказывается, всё сложнее, чем я предполагал ранее. Хорошо ,спасибо. Munin, - "Электричество и магнетизм".

[Omega]

На а всё-таки. Нашли мы магнитное поле:

$$\mathbf{B}=\frac {2J_{{0}} r}{c\,{a}^{2}} {\rm e}^{-kt}\vec{e}_{\alpha}$$

Далее:

$$\operatorname{rot}\mathbf{E_{\text{вх}}}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\frac {2J_{{0}}k r}{c^{2}\,{a}^{2}} {\rm e}^{-kt}\vec{e}_{\alpha}$$

Теперь у меня возникает "не ясность" следующего рода. Пусть $\mathbf{E_{\text{вх}}}=E_{r}(r)\vec{e}_{r}+E_{\alpha}(r)\vec{e}_{\alpha}+E_{z}(r)\vec{e}_{z}$. Всё в силу симметрии зависит только от радиуса.
Также что-то подсказывает, что $E_{\alpha}(r)=0$ . Хорошо,тогда далее:

$$\operatorname{rot}\mathbf{E_{\text{вх}}}=-\dfrac{\partial E_{z}}{\partial r}\vec{e}_{\alpha}\Rightarrow E_{z}=-\frac {J_{{0}}k r^{2}}{c^{2}\,{a}^{2}} {\rm e}^{-kt}+c_{1}$$

Не понятно, как определить $c_{1}\,\, (E_{z}(r,0)=0???)$ и как найти $E_{r}$?

[Munin]

Omega в сообщении #958436 писал(а):

"Электричество и магнетизм".

Видимо, это часть цикла "Общая физика", ещё до курсов "Уравнения математической физики" и тем более до "Теоретической физики".

Тогда во-первых, имейте в виду: стоит заглянуть вперёд.
"Электричество и магнетизм" - можно взять Тамма. По чему бы вы ни учились, его можно использовать как справочник.
"Уравнения математической физики" - смотрите учебники Владимирова, Тихонова-Самарского, Морса-Фешбаха, Кошлякова-Глинера.
"Теоретическая физика" - библия Ландау-Лифшиц "Теория поля" (второй том десятитомника "Теоретическая физика").

Попробую произнести некий всеобуч на тему УМФ. "Уравнениями математической физики" называют прежде всего дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП, хотя встречаются и другие уравнения, например, интегральные). В этом смысле, курс УМФ продолжает курс обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ, которые тоже частенько в физике встречаются). Фундаментальные физические законы для пространства или среды обычно оказываются именно ДУЧП, а разнообразные физические явления возникают как решения этих уравнений. Чтобы ОДУ имело одно и единственное решение, необходимо фиксировать $n$ начальных условий, где $n$ - порядок уравнения. В УМФ используется понятие "задачи" - это уравнение + такой набор условий, которые вместе взятые дают существующее и однозначное решение (и имеется соответствующая теорема существования и единственности). В ОДУ начальные условия задаются в одной точке, когда решение вычисляется на отрезке. В ДУЧП имеется пространство нескольких независимых переменных (аргументов функции), и решение вычисляется в какой-то области этого пространства, а условия задаются на границах этой области, например, на сторонах квадрата или гранях куба.

Разнообразие ДУЧП очень велико, но УМФ интересуют только несколько типов уравнений. Образно по физическому смыслу это такие уравнения:
- стационарные уравнения (например, электростатика, или равновесие упругой плёнки);
- нестационарные уравнения, в основном таких двух типов:

- уравнения без волновых процессов (здесь различные процессы теплопроводности, диффузии);
- уравнения с волновыми процессами - волновые уравнения.

Математически понятия более чёткие, и называются уравнениями второго порядка эллиптического, параболического и гиперболического типов. Конечно, не важно, как мы назовём переменную времени, буквой $t$ или $w,$ - отличия лежат в структуре уравнений.

Уравнения эллиптического типа требуют граничных условий со всех сторон области: скажем, если записано уравнение в квадрате на плоскости $(x,y),$ то необходимо задать по одному условию на каждой стороне квадрата.

Уравнения нестационарных типов - параболические и гиперболические - требуют задания начальных и краевых условий. То есть, если записано уравнение в квадрате на плоскости $(x,t),$ то необходимо задать условия в начальный момент времени $t=t_1$ и условия на краях отрезка $x=x_1,x_2.$ Тогда, начиная с момента времени $t=t_1,$ уравнение покажет какие-то нестационарные процессы, например, колебания и волны, и постепенно дойдёт до момента времени $t=t_2,$ который образует другую сторону квадрата - то есть, на этой другой стороне никаких условий задавать уже не нужно.

Параболические уравнения (с первой производной $\partial f/\partial t$) требуют одного условия в начальный момент времени - только $f.$
Гиперболические уравнения (с первой производной $\partial^2 f/\partial t^2$) требуют двух условий в начальный момент времени - и $f,$ и $\partial f/\partial t.$

Уравнения Максвелла - это по сути волновое уравнение. Оно посложнее, чем простейшие модельные уравнения в учебниках УМФ (типа уравнения колебаний струны), потому что оно векторное, в нём электрическое и магнитное поле, и вообще много компонент. Но по сути, уравнение такое же. И ещё, чисто в силу сложившейся традиции, уравнения Максвелла записываются не в виде уравнения второго порядка, чтобы рассматривать величину функции $f$ и её производной $\partial f/\partial t,$ а в виде системы уравнений первого порядка. Так что, набор (электрическое поле, магнитное поле) - приблизительно соответствует этому набору $(f,\partial f/\partial t).$

-- 08.01.2015 17:17:25 --

Omega в сообщении #958486 писал(а):

Далее:

$$\operatorname{rot}\mathbf{E_{\text{вх}}}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\frac {2J_{{0}}k r}{c^{2}\,{a}^{2}} {\rm e}^{-kt}\vec{e}_{\alpha}$$

Нет. Мы же решили, что у нас квазистационарное приближение. Значит, вообще везде надо заменять $(1/c)\partial/\partial t\to 0.$ Это пренебрежимо малые величины.

Вы, конечно, можете посчитать что-то. Но оно не состыкуется между собой. Потому что изначально решается не та задача.

[Omega]

Munin, крайне исчерпывающе, спасибо.
Насколько я читал в литературе квазистационарное приближение позволяет пренебречь токами смещения,но никак не скоростью изменения магнитного поля... Просто получается, что ничего так такового интересного и не происходит если $\operatorname{rot}\mathbf{E_{\text{вх}}}=0$.

[Munin]

Omega в сообщении #958646 писал(а):

Насколько я читал в литературе квазистационарное приближение позволяет пренебречь токами смещения,но никак не скоростью изменения магнитного поля...

По сути, это одного порядка поправки. Ну и, может быть, существуют разные разновидности квазистационарного приближения, главное-то - разорвать циклическую связь из производных.

Omega в сообщении #958646 писал(а):

Просто получается, что ничего так такового интересного и не происходит если $\operatorname{rot}\mathbf{E_{\text{вх}}}=0$.

Ну да, вроде как так. А задача и не похожа на что-то интересное. И электрическое поле в ней не спрашивается.

[Omega]

Хорошо, отложу тогда эту задачу до времени, когда пройду ещё и электромагнитные волны. Спасибо,Munin, за разъяснения.

Можно вопрос не по теме?!

Необходимо найти коэффициент взаимной индукции двух разных колец.
Собственно суть вопроса в том, какой метод наиболее эффективен: считать поток магнитного поля от тока в одном кольце через другое "в лоб"? Или же найти векторный потенциал магнитного поля, например, первого кольца и посчитать циркуляцию этого самого потенциала вдоль второго кольца?
Кольца находятся на близком к друг другу расстоянии.