Количество смежных классов конечной группы

[Fredholm]

Сколько смежных классов есть у группы? Ведь если каждый элемент группы порождает лишь один смежный класс, то их количество (смежных классов) должно быть равно количеству элементов группы, то есть ее порядку. Зачем тогда вводят такую величину, как индекс, если он всегда равен порядку группы?

[ex-math]

Очевидно, разные элементы могут порождать один и тот же смежный класс.

Сколько элементов в каждом классе, по-Вашему?

[provincialka]

В таких случаях неплохо взять какую-нибудь конкретную группу и подгруппу и построить эти классы.

Кстати, в вопросе про подгруппу что-то ничего не сказано. По чему же строятся эти классы?

[Fredholm]

ex-math в сообщении #957811 писал(а):

Очевидно, разные элементы могут порождать один и тот же смежный класс.

То есть можно говорить лишь о максимально возможном количестве классов — которое равно порядку группы? А на практике оно может оказаться меньше?

ex-math в сообщении #957811 писал(а):

Сколько элементов в каждом классе, по-Вашему?

Насколько я понимаю, в общем случае столько же, сколько и элементов в подгруппе, по которой он строится. Но я подозреваю, что при умножении некоторые элементы могут дублироваться, поэтому мощность класса может быть меньше мощности подгруппы.

provincialka в сообщении #957812 писал(а):

Кстати, в вопросе про подгруппу что-то ничего не сказано. По чему же строятся эти классы?

Разумеется, классы строятся по подгруппе, однако я не вижу связи между «параметрами» подгруппы и количеством классов.

[provincialka]

Пусть группа $G=\{1,a,a^2,...,a^5\}, a^6=1$, подгруппа $H=\{1,a^2,a^4\}$. Какие будут смежные классы?
Про связь эквивалентности и разбиения что-нибудь слышали?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

В таких случаях становится интересно, пробовал ли ТС хоть что-то прочесть по группам, или сразу кинулся вопросы строчить. Вроде бы в любом учебнике по высшей алгебре ситуация с числом смежных классов в конечной группе разъясняется на первых же страницах главы, посвященной группам.

[Fredholm]

provincialka в сообщении #957815 писал(а):

Пусть группа $G=\{1,a,a^2,...,a^5\}, a^6=1$, подгруппа $H=\{1,a^2,a^4\}$. Какие будут смежные классы?

для элемента $1: N_0=H$
для $a: N_1=\{a, a^3, a^5\}$
для $ a^2: N_2=\{a^2, a^4, 1\}$
для $a^3: N_3=\{a^3, a^5, a\}$
для $a^4: N_4=\{a^4, 1, a^2\}$
для $a^5: N_5=\{a^5, a, a^3\}$

provincialka в сообщении #957815 писал(а):

Про связь эквивалентности и разбиения что-нибудь слышали?

Ну да. Смежный класс является классом эквивалентности. А сама группа разбивается на непересекающиеся смежные классы.
$N_1=N_3=N_5, N_0=N_2=N_4. $
Тогда смежных класса всего два?

[provincialka]

Именно. И как этот результат связан с размерами $G$ и $H$?

[Fredholm]

provincialka в сообщении #957829 писал(а):

Именно. И как этот результат связан с размерами $G$ и $H$?

Является отношением их мощностей, то есть мощность $H$ влияет на индекс. Да, теперь мой вопрос действительно кажется глупым . Спасибо большое, видимо, мне правда нужен был пример.

[provincialka]

Fredholm в сообщении #957836 писал(а):

мне правда нужен был пример.

Как и всем и всегда. Придумывайте их себе сами и ищите в литературе. Без этого "суха теория, мой друг", не проглотишь!

[ex-math]

Fredholm в сообщении #957814 писал(а):

Но я подозреваю, что при умножении некоторые элементы могут дублироваться, поэтому мощность класса может быть меньше мощности подгруппы.

Умножьте равенство $gh_1=gh_2$ слева на $g^{-1} $, и Вы убедитесь, что не может.