2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 08:26 
Сколько смежных классов есть у группы? Ведь если каждый элемент группы порождает лишь один смежный класс, то их количество (смежных классов) должно быть равно количеству элементов группы, то есть ее порядку. Зачем тогда вводят такую величину, как индекс, если он всегда равен порядку группы?

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 10:18 
Аватара пользователя
Очевидно, разные элементы могут порождать один и тот же смежный класс.

Сколько элементов в каждом классе, по-Вашему?

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 10:26 
Аватара пользователя
В таких случаях неплохо взять какую-нибудь конкретную группу и подгруппу и построить эти классы.

Кстати, в вопросе про подгруппу что-то ничего не сказано. По чему же строятся эти классы?

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 10:45 
ex-math в сообщении #957811 писал(а):
Очевидно, разные элементы могут порождать один и тот же смежный класс.

То есть можно говорить лишь о максимально возможном количестве классов — которое равно порядку группы? А на практике оно может оказаться меньше?
ex-math в сообщении #957811 писал(а):
Сколько элементов в каждом классе, по-Вашему?

Насколько я понимаю, в общем случае столько же, сколько и элементов в подгруппе, по которой он строится. Но я подозреваю, что при умножении некоторые элементы могут дублироваться, поэтому мощность класса может быть меньше мощности подгруппы.
provincialka в сообщении #957812 писал(а):
Кстати, в вопросе про подгруппу что-то ничего не сказано. По чему же строятся эти классы?

Разумеется, классы строятся по подгруппе, однако я не вижу связи между «параметрами» подгруппы и количеством классов.

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 10:48 
Аватара пользователя
Пусть группа $G=\{1,a,a^2,...,a^5\}, a^6=1$, подгруппа $H=\{1,a^2,a^4\}$. Какие будут смежные классы?
Про связь эквивалентности и разбиения что-нибудь слышали?

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 10:57 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

В таких случаях становится интересно, пробовал ли ТС хоть что-то прочесть по группам, или сразу кинулся вопросы строчить. Вроде бы в любом учебнике по высшей алгебре ситуация с числом смежных классов в конечной группе разъясняется на первых же страницах главы, посвященной группам.

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 11:20 
provincialka в сообщении #957815 писал(а):
Пусть группа $G=\{1,a,a^2,...,a^5\}, a^6=1$, подгруппа $H=\{1,a^2,a^4\}$. Какие будут смежные классы?

для элемента $1: N_0=H$
для $a: N_1=\{a, a^3, a^5\}$
для $ a^2: N_2=\{a^2, a^4, 1\}$
для $a^3: N_3=\{a^3, a^5, a\}$
для $a^4: N_4=\{a^4, 1, a^2\}$
для $a^5: N_5=\{a^5, a, a^3\}$
provincialka в сообщении #957815 писал(а):
Про связь эквивалентности и разбиения что-нибудь слышали?

Ну да. Смежный класс является классом эквивалентности. А сама группа разбивается на непересекающиеся смежные классы.
$N_1=N_3=N_5,
N_0=N_2=N_4. $
Тогда смежных класса всего два?

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 11:41 
Аватара пользователя
Именно. И как этот результат связан с размерами $G$ и $H$?

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 11:53 
provincialka в сообщении #957829 писал(а):
Именно. И как этот результат связан с размерами $G$ и $H$?

Является отношением их мощностей, то есть мощность $H$ влияет на индекс. Да, теперь мой вопрос действительно кажется глупым :D. Спасибо большое, видимо, мне правда нужен был пример.

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 13:19 
Аватара пользователя
Fredholm в сообщении #957836 писал(а):
мне правда нужен был пример.
Как и всем и всегда. Придумывайте их себе сами и ищите в литературе. Без этого "суха теория, мой друг", не проглотишь!

 
 
 
 Re: Количество смежных классов конечной группы
Сообщение07.01.2015, 13:30 
Аватара пользователя
Fredholm в сообщении #957814 писал(а):
Но я подозреваю, что при умножении некоторые элементы могут дублироваться, поэтому мощность класса может быть меньше мощности подгруппы.
Умножьте равенство $gh_1=gh_2$ слева на $g^{-1} $, и Вы убедитесь, что не может.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group